Sea $M$ una variedad Riemanniana, $x$ e $y$ son dos puntos en $M". Supongamos que $x$ no está en el locus de corte de $y$. ¿Existe un vecindario $U$ de $x$ y un vecindario $V$ de $y$ tal que para cada punto $u$ en $U$ y para cada punto $v$ en $V$ tengamos que $u$ no está en el locus de corte de $v$?
Respuestas
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Bill Thurston
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Sí.
El locus de corte para un punto $x$ es la clausura del conjunto de puntos $y$ tales que hay más de una geodésica de longitud mínima desde $x$ hasta $y. A veces $y$ puede estar en el locus de corte y aún así tener una geodésica minimizadora única hacia $x$. Esto sucede cuando todos los pares de geodésicas minimizadoras desde $x$ hasta puntos $y'$ cercanos a $y$ convergen para dar una sola geodésica minimizadora desde $x$ hasta $y$ en el límite.
En tal caso, $y$ está en el locus conjugado para $x. Esta situación puede ser detectada por la primera derivada del mapa exponencial en $Y$, que es singular. Una forma equivalente de expresarlo es que hay un campo de Jacobi no trivial a lo largo de la geodésica dada desde $x$ hasta $y$ que es 0 en $x$ y en $y. (Un campo de Jacobi es la primera derivada en la dirección del parámetro de una familia de 1 parámetro de geodésicas, es decir, una variación infinitesimal de una geodésica). Observa que esta condición es simétrica en $x$ y $y.
Cuando $y$ no es un punto conjugado de $x$ de manera que no haya un campo de Jacobi de este tipo, entonces por el teorema de la función implícita hay una familia suave de geodésicas parametrizadas por $U \times V$ conectando puntos en un vecindario $U$ de $x$ con puntos en un vecindario $V$ de $y.
Para una variedad Riemanniana completa $M$, el conjunto de pares de corte $C(M) \subset M \times M$ es un subconjunto cerrado invariante bajo el intercambio de factores: para cualquier par de puntos $(s,t)$ que es un límite de pares de puntos $(s', t')$ unidos por más de una geodésica minimizadora, ya sea que hay límites distintos de secuencias de geodésicas minimizadoras, que dan más de una geodésica minimizadora desde $s$ hasta $t$, o $s$ y $t$ son un par conjugado. Esto responde a tu pregunta sí.
Para un vector tangente unitario $u$ con punto base $p$, sea $t(u)$ el supremo de números positivos tales que el geodésico $t\to \exp_p(tu)$ es minimizante en $[0,t(u)]$. El locus de corte en $p$ es el conjunto de puntos $\exp_{p}(t(u) u)$ de $M$ para los cuales $t_u$ es finito.
Un resultado básico es que $u\to t(u)$ define una aplicación continua del haz tangente unitario a $(0,+\infty]$ donde la continuidad en $+\infty$ se entiende de manera obvia. Ver por ejemplo "Geometría Riemanniana" de Sakai, Proposición III.4.1.
Ahora, pasando a tu pregunta, fija $x\in M$ y $y=\exp_x(su)$ para algún $u=u(x,y)$ y un número positivo $s$. Supongamos que $x^\prime$, $y^\prime$ están cerca de $x$, $y$ respectivamente, y escribimos $y^\prime=\exp_{x^\prime}(s^\prime u^\prime)$. Si $y$ no está en el locus de corte de $x$, entonces $t(u)=+\infty$. Por lo tanto, $t(v)> s$ en algún vecindario de $u$ en el haz tangente unitario. Dado que $s^\prime$ y $s$ son casi iguales, concluimos que $t(u^\prime)> s^\prime$, es decir, $x^\prime$, $y^\prime$ no son puntos de corte el uno del otro.
En mi opinión, el libro de Sakai es la mejor fuente de información sobre los loci de corte y conjugados.
