¿Por qué la función de Chebyshev es relevante para el teorema de los números primos?

Question

¿Por qué la función de Chebyshev

$\theta(x) = \sum_{p\le x}\log p$

útil en la demostración del teorema de los números primos. ¿Alguien tiene un argumento conceptual para motivar por qué mirar $\sum_{p\le x} \log p$ es relevante y decir algo al azar como $\sum_{p\le x}\log\log p$ no es útil o cualquier otra función aleatoria $f$ et $\sum_{p\le x} f(p)$ no es relevante.

Answer 1

Hay varias ideas aquí, algunas mencionadas en las otras respuestas:

Uno: Cuando Gauss era un niño (por las fechas encontradas en sus notas tenía aproximadamente 16 años) notó que los primos aparecen con densidad $ \frac{1}{\log x}$ alrededor de $x$ . Entonces, en lugar de contar los primos y mirar la función $\pi (x)$ , vamos a ponderar por la densidad natural y mirar $\sum_{p\leq x} \log p$ . Como estamos ponderando por lo que creemos que es la densidad, esperamos que sea asintótica para ser $x$ .

Dos: Diferenciación de series de Dirichlet. Si $$ A(s)=\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} n^{-s} $$ entonces $$ (A(s))'=-\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} log(n) n^{-s}$$ El $\log$ aparece naturalmente en la diferenciación de las series de Dirichlet. Tomando la convolución de $\log n$ con la función de Mobius (es decir, multiplicando por $\frac{1}{\zeta(s)}$ ) da entonces el $\Lambda(n)$ mencionado anteriormente. El $\mu$ es realmente lo especial aquí, no el logaritmo.

Ampliando esto, hay otras ponderaciones además de $\log p$ que surgen de forma natural al tomar derivados. En cambio, podemos ver $\zeta^{''}(s)=\sum_{n=1}^\infty (\log n)^2 n^{-s}$ y luego se multiplica por $\frac{1}{\zeta(s)}$ como antes. Esto nos lleva a examinar la suma $$\sum_{n\leq x} (\mu*\log^2 )(n)$$ (El $*$ es la convolución de Dirichlet) Observando la suma anterior, Selberg pudo demostrar su famosa identidad que fue el centro de la primera demostración elemental del teorema de los números primos:

$$\sum_{p \leq x} log^2 p +\sum_{pq\leq x}(\log p)(\log q) =2x\log x +O(x).$$

Tres: Los primos están íntimamente relacionados con los ceros de $\zeta(s)$ y las integrales de contorno de $\frac{1}{\zeta(s)}$ . (Obsérvese que hasta ahora ha aparecido en todas partes aquí) Podemos demostrar realmente que

$$\sum_{p^k \leq x} \log p= x - \sum_{\rho :\ \zeta(\rho)=0} \frac{x^{\rho}}{\rho} +\frac{\zeta'(0)}{\zeta(0)} $$

Obsérvese que lo anterior es un igualdad lo cual es notable ya que el lado izquierdo es una función escalonada. (De alguna manera, en las potencias primos todos los ceros de zeta conspiran y hacen saltar la función).

Answer 2

La distribución de las sumas $\sum_{p\leq x}f(p)$ está íntimamente relacionada con las propiedades analíticas de la serie de Dirichlet $\sum_{p\leq x}f(p)p^{-s}$ . Si $f(p)$ es igual a la función de von Mangoldt, quizás retorcida por algunos datos automórficos como los valores de un carácter de Dirichlet o los valores propios de Hecke de una forma de cúspide, entonces $\sum_{p\leq x}f(p)p^{-s}$ es igual, hasta una serie de Dirichlet soportada en potencias primos superiores, a la derivada logarítmica negativa de un automorfo $L$ -función $L(s)$ como se deduce de la descomposición del producto de Euler de $L(s)$ . La función $L(s)$ es agradable, además de ser un producto de Euler: tiene una continuación meromórfica con a lo sumo unos pocos polos y un buen comportamiento en franjas verticales, tiene una ecuación funcional, y conjeturalmente todos sus ceros se encuentran en el eje de simetría (Hipótesis de Riemann generalizada). La derivada logarítmica $L'(s)/L(s)$ es por tanto también meromorfa con polos simples en los ceros y polos de $L(s)$ .

En el caso de $f(p)=\Lambda(p)$ tenemos $L(s)=\zeta(s)$ para que haya un polo simple en $s=1$ con residuos $1$ y también en cada cero de $\zeta(s)$ con residuo igual a la multiplicidad negativa del cero. Conjeturalmente los ceros se encuentran todos en $\Re(s)=1/2$ que hace que $\sum_{n\leq x}\Lambda(n)$ cambio bastante suave: es $x+O(x^{1/2+\epsilon})$ . Por supuesto $\sum_{p\leq x}\log(p)$ difiere de $\sum_{n\leq x}\Lambda(n)$ sólo por $O(x^{1/2+\epsilon})$ .

Answer 3

Me parece que la segunda función de Chebyshev $\psi(x) = \sum_{n \le x} \Lambda(n)$ (donde $\Lambda$ es la función de von Mangoldt) es más natural, pero como dice Gjergji las dos se aproximan. Esto se debe a que el comportamiento de la segunda función de Chebyshev está relacionado por ciertos teoremas generales que desconozco con el comportamiento de la serie de Dirichlet

$$\sum_{n \ge 1} \frac{\Lambda(n)}{n^s}$$

y esta serie de Dirichlet es precisamente $\frac{-\zeta'(s)}{\zeta(s)}$ o la derivada logarítmica negativa de $\zeta(s)$ . Esto tiene la siguiente interpretación intuitiva: si pensamos en $\zeta(s)$ como el función de partición

$$\zeta(s) = \sum_{n \ge 1} e^{-s \log n}$$

de la Gas de Riemann entonces la derivada logarítmica negativa de una función de partición describe el valor esperado de la energía a una temperatura determinada, una propiedad fundamental.

Editar: Esta observación se remonta al menos a Mackey , Representaciones de grupos unitarios en física, probabilidad y teoría de números (1978), que escribió:

...Nuestro punto principal aquí es que uno podría haber sido conducido al esquema principal de la demostración del teorema de los números primos utilizando la interpretación física de las transformadas de Laplace proporcionada por la mecánica estadística. En particular, la función $-\frac{\zeta'}{\zeta}$ cuya representación como serie de Dirichlet (transformada de Laplace con medida discreta) juega un papel central en la prueba tiene una interpretación física directa como función de energía interna.

En cuanto a por qué es natural asignar el estado $n$ la energía $\log n$ La cuestión es que para $s > 1$ obtenemos las únicas distribuciones de probabilidad sobre los números naturales que satisfacen ciertas propiedades naturales; véase esta entrada del blog por ejemplo.

Por supuesto, una razón básica puramente matemática para considerar la derivada logarítmica son las ideas en torno a la principio de argumentación .