Hay una potencia de 2 que, escrito hacia atrás, es una potencia de 5?

Question

En esta nota, el famoso matemático físicos Freeman Dyson da un ejemplo de una verdadera declaración de que es imposible de probar. O eso dice él. La declaración es como sigue:

Los números que son exactas las potencias de dos son 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 y así sucesivamente. Los números que son poderes de cinco son de 5, 25, 125, 625 y así sucesivamente. Dado cualquier número como 131072 (que pasa a ser una potencia de dos), a la inversa de es 270131, con los mismos dígitos tomados en el orden opuesto. Ahora mi estado de cuenta es: no ocurre que la inversa de una potencia de dos es una potencia de cinco.

Él da algunos argumentos en apoyo de su demanda y, de hecho, parece probable que su estado es correcto. Sin embargo, otra parte de una historia, es una posibilidad para demostrar esta afirmación. Así que aquí está mi pregunta: ¿alguien Puede probar Dyson de la declaración, o al menos dar algún pensamiento a lo largo de las líneas de esta declaración no puede ser demostrado.

Answer 1

Sólo una respuesta parcial. Podemos formalizar el problema como el siguiente. Estamos buscando un $(n,k) \in \mathbb{N}^2$ par, que satisface la siguiente igualdad:

$$r(2^n)=5^k,$$

donde $r : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ función da a la inversa de un número.

Podemos obtener $r$ como esta:

$$r(n)=\sum_{\ell=0}^{m-1}10^{m-1-\ell}\left(\left\lfloor\frac{n}{10^\ell}\right\rfloor-10\left\lfloor\frac1{10}\left\lfloor\frac{n}{10^\ell}\right\rfloor\right\rfloor\right),$$

donde $n$ es la cantidad que desea invertir, y $m$ es de los dígitos de $n$.

Nosotros sabemos que $m$ es

$$m=\lfloor\log_{10}n\rfloor+1.$$

Así que el uso de este obtenemos $r$ $ $ el siguiente.

$$r(n)=\sum_{\ell=0}^{\lfloor\log_{10}n\rfloor}10^{\lfloor\log_{10}n\rfloor-\ell}\left(\left\lfloor\frac{n}{10^\ell}\right\rfloor-10\left\lfloor\frac1{10}\left\lfloor\frac{n}{10^\ell}\right\rfloor\right\rfloor\right),$$

donde $n$ es el número que se desea invertir.

Sabemos que $r(2^n)=5^k$ es el mismo

$$k = \log_5 r(2^n) = \log_5 \left ( \sum_{\ell=0}^{\lfloor\log_{10}2^n\rfloor}10^{\lfloor\log_{10}2^n\rfloor-\ell}\left(\left\lfloor\frac{2^n}{10^\ell}\right\rfloor-10\left\lfloor\frac1{10}\left\lfloor\frac{2^n}{10^\ell}\right\rfloor\right\rfloor\right) \right).$$

A partir de aquí se podría utilizar esta identidad, pero no sé cómo demostrar que no existe tal $n$ que $k$ es un número entero, o no.

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Otro enfoque de la "fuerza bruta", una solución. He escrito el siguiente programa Arce.

with(MmaTranslator[Mma]);
with(ListTools);

revnum := proc(n)
 FromDigits(Reverse(RealDigits(n)[1]));
end proc;

check := proc(a,b)
 local i;
 for i from a to b do 
  if type(eval(log[5](revnum(2^i))),integer) then 
   print([i,eval(log[5](revnum(2^i)))]);
  fi
 od;
 print("Done.");
end proc;

Con check función podíamos probar cualquier intervalo de $n$ que $k$ es un número entero o no. Con check(1,15000) he probado hasta $2^{15000}$ sin ningún resultado positivo.

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Es por eso que creo que la afirmación es verdadera.

Creo que el artículo es muy extraño, Skewes' número es un buen contraejemplo para este enfoque. Podemos encontrar parametrización, y crear relacionados con el problema que tiene solución. $r(11^n)=11^n$ es cierto para $n=1,2,3,4$, desde $11, 121, 1331,14641$ son palíndromos. Usted puede leer acerca de la generalización de este ejemplo en este papel.

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Si te gusta "casi soluciones" aquí están algunos.

• $(n,k)=(896, 385.9994262)$
• $(n,k)=(1269, 547.0014642)$
• $(n,k)=(1698, 732.0013312)$
• $(n,k)=(1712, 737.9991581)$
• $(n,k)=(2243, 967.0008879)$
• $(n,k)=(3347, 1442.001656)$
• $(n,k)=(3893, 1676.000497)$
• $(n,k)=(4125, 1775.999455)$
• $(n,k)=(4451, 1917.000274)$
• $(n,k)=(4670, 2010.999274)$
• $(n,k)=(4838, 2083.999410)$