Nueva razón áurea muy simple $\Phi$ Construcción con Círculo y Dos Segmentos Iguales de Diámetro de Círculo. ¿Existe un estado de la técnica? ¿Pruebas?

Question

Geogebra me da la proporción áurea $\Phi$ con quince decimales para esta sencilla construcción que se ilustra a continuación, en la que la relación línea azul i a la línea roja h es $\Phi$ o 1.6180....

La construcción de la proporción áurea se realiza de la siguiente manera:

1. Dibuja un círculo apoyado en una línea.
2. Dibuja un segmento ( segmento f ) igual al diámetro del círculo desde el centro del círculo hasta la línea en el punto C.
3. Dibuja un segundo segmento de la misma longitud que el diámetro del círculo ( segmento g ) desde el punto D donde segmento f se cruza con el círculo de manera que también toca la línea en el punto F.

La relación de la segmento azul i a la segmento rojo h será entonces la proporción áurea $\Phi=1.6180\cdots.$

¿Alguien ha visto algún arte previo relacionado con esta construcción? Y de nuevo, ¡las pruebas geométricas y trigonométricas son bienvenidas! :)

Answer 1

Cálculo de la poder del punto $A$ con respecto a $\bigcirc R$ de dos maneras, y el poder del punto $B$ con respecto a $\bigcirc O$ de dos maneras: $$\begin{align} |\overline{AP}|^2 = |\overline{AO}| |\overline{AT}| &\qquad\to\qquad r \cdot 3 r = a^2 \\ |\overline{BP}| |\overline{BA}|\; = |\overline{BQ}| |\overline{BS}| &\qquad\to\qquad r \cdot 3 r = b\;( a + b ) \end{align}$$ Por lo tanto, $$a^2 = b\;(a+b) \tag{$ \N - La estrella $}\qquad\to\qquad \frac{a}{b} = \frac{a+b}{a} \qquad\to\qquad \frac{a}{b} = \phi = 1.618\dots$$ por la definición de $\phi$ El proporción áurea . $\square$

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Como la bibliografía sobre la proporción áurea es amplia, nadie puede declarar definitivamente que "no hay estado de la técnica". Sólo diré que esta construcción no es tan "obvia" como algunas de las recientes.

(Para el contexto, diría: Si una construcción implica un $1$ - $2$ - $\sqrt{5}$ triángulo desde el principio, entonces es probable que la aparición de la proporción áurea sea "obvia" o, al menos, "poco sorprendente").

Answer 2

La proporción es $\sqrt{\dfrac{2}{3 - \sqrt{5}}}$ .

Consideremos el triángulo rectángulo HIC. Podemos calcular la longitud del segmento azul, que es $r\sqrt{3}$ y el ángulo ICH, que es $\pi/6$ .

Consideremos el triángulo FDC. A partir de la Ley de los Senos, podemos encontrar el ángulo CFD, que es $\sin^{-1}(1/4)$ . Como la suma de los ángulos interiores es $\pi$ encontramos el ángulo FDC, que es $5\pi/6 - \sin^{-1}(1/4)$ .

Consideremos el triángulo FHD. Los ángulos FDC y FDH son complementarios, por lo que la medida del ángulo FDH es $\sin^{-1}(1/4) + \pi/6$ . A partir de la ley de los cosenos, podemos encontrar la longitud del segmento FH, que es $r\sqrt{5 + \dfrac{1-3\sqrt{5}}{2}}$ .

Consideremos el triángulo rectángulo FIH. Podemos encontrar la longitud del segmento rojo, que es $r\sqrt{4 + \dfrac{1 - 3\sqrt{5}}{2}}$ .

Answer 3

No creo que exista un estado de la técnica para esta construcción de la sección dorada.