Principio de ordenación de pozos y factorización de primos

Question

¿Es posible demostrar la unicidad de la factorización primaria de los números naturales por el principio de ordenación del pozo?

Mi intento : Sea S el conjunto de todos los números naturales cuya factorización prima no es única y supongamos que S no es una emotíva. Entonces existe un elemento mínimo de S, s por el WOP. Por definición s = p1p2p3...pn = q1q2q3...q donde pi y qj son todos números primos y existe un pi != qj para todo j. Dividiendo s por p1 se obtiene s/p1 = p1p2p3...pn/p1 = q1q2q3...qm/p1 es decir s/p1 = p2p3....pn = q1q2q3...qm/p1 que también es un número natural. Por lo tanto, como p1|q1q2q3...qm se deduce que p1=qj para alguna j. Por conveniencia supongamos entonces que p1=q1 y por lo tanto s/p1 = p2p3p4...pn = q2q3q4...qm. Pero entonces este número también pertenece a S contradiciendo el hecho de que s es el menor elemento de S. Por lo tanto, nuestra suposición de que S es no vacío conduce a una contradicción que significa que S debe ser vacío.

Answer 1

Sí, lo es, aunque su argumento no es del todo correcto. El hecho de que las dos factorizaciones primos de $s$ son diferentes no garantiza inmediatamente que uno tenga un factor primo que no aparezca en el otro: en principio podrían tener exactamente los mismos factores primos, pero con multiplicidades diferentes. Es posible evitarlo, pero requiere un poco más de trabajo.

Como en su argumento, suponga que $S\ne\varnothing$ y que $s=\min S$ . Entonces $s$ tiene distintas factorizaciones primos

$$s=p_1p_2\ldots p_m=q_1q_2\ldots q_n\;,$$

donde podemos suponer que $p_1\le p_2\le\ldots\le p_m$ y $q_1\le q_2\le\ldots\le q_n$ . Entonces $p_1\mid s$ Así que $p_1\mid q_1q_2\ldots q_n$ y por lo tanto $p_1=q_k$ para algunos $k\in\{1,\ldots,n\}$ . (Si hay más de una $k$ , elija el más pequeño). Pero entonces

$$\large\prod_{2\le i\le m}p_i=\prod_{{1\le i\le n}\atop{i\ne k}}q_i=\frac{s}{p_1}\notin S\;,$$

por lo que las factorizaciones primarias

$$\large\prod_{2\le i\le m}p_i\qquad\text{and}\qquad\prod_{{1\le i\le n}\atop{i\ne k}}q_i\tag{1}$$

deben ser idénticos. (Aquí es donde utilizo el hecho de que he dispuesto los factores de cada producto en orden no decreciente: eso hace que estos productos sean idénticos no sólo en las identidades de los factores, sino también en su orden). Así pues, $q_k=p_1\le p_2$ y $p_2$ es igual al menor de los factores $q_i$ con $i\ne k$ Así que la forma que elegí $k$ garantiza que $k=1$ y $p_1=q_k=q_1$ . Así, las factorizaciones idénticas en $(1)$ son

$$\prod_{2\le i\le m}p_i\qquad\text{and}\qquad\prod_{2\le i\le n}q_i\;,$$

y se deduce que $m=n$ y $p_i=q_i$ para $i=1,\ldots,m$ contradiciendo la hipótesis de que $s\in S$ .