Prueba $\int^\infty_0 b\sin(\frac{1}{bx})-a\sin(\frac{1}{ax}) = -\ln(\frac{b}{a})$ utilizando las integrales de Frullani

Question

Prueba $$\int^\infty_0 b\sin(\frac{1}{bx})-a\sin(\frac{1}{ax}) = -\ln(\frac{b}{a})$$

Se supone que debo utilizar las integrales de Frullani, que establece que $\int^\infty_0 \frac{f(bx)-f(ax)}{x}\mathrm dx$ ya que esto es igual a $[f(\infty)-f(0)] \ln(\frac{b}{a})$

Por lo tanto, necesito transformar la primera ecuación en la forma de la integral de Frullani. Sin embargo, no puedo averiguar cómo hacer esta transformación porque no soy bueno en ellos.

Answer 1

Basta con tomar $ f(x) =\frac{\sin x}{x}$ y aplica el teorema de Frullani a partir de entonces.

Entorno, $u =\frac1x$ entonces $dx=-\frac{du}{u^2}$

$$\int^\infty_0 b\sin(\frac{1}{bx})-a\sin(\frac{a}{ax})dx =\int^\infty_0 \frac{b\sin(\frac{x}{b})-a\sin(\frac{x}{a})}{x^2}dx \\=\int^\infty_0 \frac{\frac bx\sin(\frac{x}{b})-\frac ax\sin(\frac{x}{a})}{x}dx = \frac{f(\frac{x}{b})- f(\frac{x}{a})}{x}dx =f(0)\ln\left(\frac{\frac1b}{\frac1a}\right).$$

Dónde, $$ f(x) =\frac{\sin x}{x}\to 1 ~~as ~~x\to 0$$ satisface las condiciones del Teorema de Frullani.

$$\color{red}{\int^\infty_0 b\sin(\frac{1}{bx})-a\sin(\frac{a}{ax})dx =\ln\left(\frac{\frac1b}{\frac1a}\right) =\ln\left(\frac{a}{b}\right) }.$$