Así que tengo un examen en el próximo débil y me encontré con dificultades en una pregunta "fácil".
Dadas dos series $(a_n)_{n=1}^{\infty} \ $ para que $\forall n \in \mathbb{N} \ a_n > 0$ entonces:
$ \sum _{n=1}^{ \infty} a_n$ convergente si
$ \sum _{n=1}^{ \infty} \frac{a_n}{a_n +1}$ convergente.
Así que sé que $ \forall n \in \mathbb{N} \ \ \frac{\frac{a_n}{a_n + 1}}{\frac{a_n}{1}} = \frac{1}{a_n +1} < \frac{1}{1} = 1$
Suponiendo que $ \sum _{n=1}^{ \infty} a_n$ convergente
entonces sé que $ \ a_n \rightarrow 0$
y por lo tanto $ \ \frac{1}{a_n +1} \rightarrow 1 \ $ y porque sabemos que $ \sum _{n=1}^{ \infty} a_n$ convergente concluimos de la
prueba de comparación que $ \sum _{n=1}^{ \infty} \frac{a_n}{a_n +1}$ convergente.
Pero, ¿y lo contrario?
¿Qué puedo concluir del hecho de que $ \ \frac{a_n}{a_n +1} \rightarrow 0 \ $
Eso podría ayudarme a probar que $ \ \frac{1}{a_n +1} \rightarrow L_1 > 0 \ $
Así que $ \sum _{n=1}^{ \infty} a_n$ ¿convergente?
Si tengo que probar el otro camino de una manera diferente' por favor dígame cómo .
Gracias por adelantado.
