Ruta de Álgebra para las Categorías

Question

Por un tiempo yo había estado pensando que el camino algebra de un carcaj $Q$ sobre un anillo conmutativo $R$ es el mismo que el de la categoría de "anillo" $R[P]$ (análogo a la "anillo de grupo", "monoid anillo", "semigroup anillo", y similares), donde el $P$ se compone de las rutas en las $Q$, y la multiplicación en la $P$ es la composición (o cero cuando el dominio no coincide con el codominio).

Sin embargo, como he escrito algo con más detalle, me parece que no siempre es posible encontrar un correspondiente carcaj para algunos categoría dada. Por ejemplo, cuando se $C$ es la delgada categoría que representa el orden parcial de $\mathbb R$ (objetos son números reales, y morfismos son pares $(x, y)$$x \le y$), no puedo encontrar el correspondiente carcaj.

Mis preguntas son

1. Soy justo no es consciente de la aljaba que dará lugar a la categoría en cuestión?
2. Si es realmente el caso que no tengan su correspondiente carcaj para algunas categorías, a continuación, esta categoría de "anillo" es más general objeto de que la ruta de acceso de álgebra. Si aún así se llama el camino de álgebra?
3. ¿Por qué la gente suele comenzar con un carcaj, para luego hacerlo en una categoría para definir la ruta de álgebra? ¿Por qué no empezar con una categoría?

Editar: Gracias por las respuestas abajo por Aarón y Julian. Así que la respuesta a mi pregunta número 1 es que yo no era consciente de la aljaba álgebra de las relaciones. Ahora que estoy, tengo una pregunta de seguimiento. Es la ruta de acceso de álgebra con las relaciones de la misma como la categoría anillo al $R$ es un campo? (¿Por qué alguien querría considerar el cociente de dos caras ideal que no proviene de la identificación de vías de todos modos?)

Answer 1

1. Creo (pero podría ser falso porque no estoy bien informado cuando se trata de dimensiones infinitas álgebras, es verdad, si reemplazar $\mathbb{R}$ por un conjunto finito) que en este caso no hay un carcaj $Q$ tal que $R[(\mathbb{R},\leq)]\cong RQ$. En su lugar, usted tendrá que $R[(\mathbb{R},\leq)]\cong RQ/I$ donde $Q$ es el carcaj con flechas $a\to b$ siempre $a\leq b$ $I$ es el ideal generado por todos los $\alpha-\gamma\beta$ donde $\alpha$ es una flecha que representa $a\leq c$, $\beta$ es una flecha que representa $a\leq b$ $\gamma$ es una flecha que representa $b\leq c$.
   En el finito-dimensional mundo algebraicamente cerrado campos de la ruta de álgebras son, de hecho, sólo el hereditaria álgebras (es decir, el álgebra de operadores tales que $\operatorname{Ext}^2$ desaparece) hasta de equivalencia de Morita.
2. Yo creo que esto no debe, de hecho, entonces no se puede llamar una ruta de álgebra, pero tal vez una ruta de álgebra con las relaciones si no desea utilizar la categoría de anillo.
3. Para dar un carcaj (de las relaciones) está dando mucha más información que dar sólo una categoría. En cierto sentido, el tiembla satisfacer algunas minimality supuestos. Un ejemplo: El número de flechas entre dos vértices en un carcaj es el $\operatorname{Ext}^1$ entre los correspondientes módulos sencillos. El $\operatorname{Ext}^2$ describe el número de relaciones que se necesita en un conjunto mínimo de relaciones en el carcaj.
4. Para tu pregunta de si una categoría de álgebra es el mismo que el de un carcaj con las relaciones (estoy hablando sólo el caso de un número finito de la aljaba.) Eso depende de lo que la equivalencia de la relación que están imponiendo. Si desea utilizar el "isomorfismo", entonces la respuesta es "No". Por ejemplo, considerar la categoría de $\mathcal{M}_2$ con dos isomorfo objetos (y ningún otro morfismos, excepto los dos isomorphisms y las dos identidades). Entonces es fácil comprobar la $k[\mathcal{M}_2]\cong M_2(k)$ (el anillo de $2\times 2$-matices $k$.) Esto no es isomorfo a cualquier ruta algebra de un carcaj desde su categoría de módulo es semisimple (todas las representaciones son finitos sumas de los más sencillos), pero el único camino álgebras de que se semisimple se $k^n$ (como el carcaj tome $n$ vértices y flechas). Y estos dos álgebras nunca son isomorfos. Es por eso que escribí en 1. que usted tiene que considerar a Morita equivalencia. Dos álgebras son llamados Morita equivalente, si su módulo de categorías son equivalentes. Por el teorema de Gabriel no es exactamente una ruta de álgebra en cada clase de equivalencia de finito dimensionales álgebras. Este es exactamente el álgebra básica (lo que significa que el finito dimensional simple módulos se $1$-dimensional).
5. Una razón más para considerar tiembla primera es tal vez educativo. Es muy fácil hablar de representaciones de tiembla sin mencionar una categoría (aunque implícitamente se está tratando con uno). Así que, en principio, un estudiante de segundo año pueden tomar un curso con sólo el conocimiento de álgebra lineal (y no álgebra abstracta o de una categoría de la teoría).

Answer 2

Eso es una trampa de la que yo solía caer en así. Este es el ejemplo que siempre se debe siempre mantener siempre en mente:

Deje $G$ ser un grupo finito, a continuación, construir una categoría con un objeto, y todas las flechas corresponden a los elementos de $G$ con la composición de las flechas de ser elemento del grupo de la multiplicación, entonces la categoría de álgebra es un grupo de álgebra. Esta es la razón por la que las personas, tales como Peter Webb y Markus Linklemann, está interesado en la categoría de álgebras como son la generalización de las álgebras de grupo. Por otro lado, dado un grupo, es muy difícil la construcción de la ruta de acceso correspondiente álgebra (álgebra básica).

Nota la "ruta correspondiente álgebra" siempre existe en el siguiente sentido (un resultado de Gabriel): Deje $A$ ser finito dimensionales álgebra con suma directa de descomposición $ A= \bigoplus_{i=1}^n P_i^{\oplus m_i}$ ($P_i$ son indecomposable proyectiva) y tome $M=\bigoplus_{i=1}^n P_i$, entonces la ruta de álgebra $kQ/I$ correspondiente a $A$ (construido con Ext-carcaj) es isomorfo a $End_A(M)$.

Así que para responder a tu pregunta (1) y (2): Dada una ruta de álgebra $A=kQ/I$, usted puede construir una categoría que la captura de homológica comportamiento de $kQ/I$ es dada simplemente por el tratamiento de la $Q$ como una categoría, y las relaciones de las composiciones dadas por $I$. Aquí cada objeto (=vértice en $Q$) en la categoría SÓLO tiene UNA invertible endomorfismo correspondiente a la primitiva idempotente de ese vértice. De esta manera, se puede decir que la categoría de álgebra es una generalización de la ruta de álgebra.

Respecto a tu tercera pregunta, yo no puedo dar una respuesta clara, estos son lo que mi supervisor me dijo hace años, así que espero que alguien pueda dar algunos comentarios complementarios: Hay diversos razón por la que vamos a partir de la aljaba para la categoría. A veces porque no queremos lidiar con el álgebra directamente. (por ejemplo, V. Mazorchuk (y, posiblemente, Y. Drozd) es una de las personas que utiliza este enfoque muy a menudo.) Una mejor razón es que la "ruta de álgebra de un infinito aljaba" es (era?) un claro concepto, ya que no tienen las cosas como Gabriel del teorema/lema como se mencionó anteriormente, y que necesita para lidiar con ciertos problemas derivados de infinitas dimensiones álgebras. Por otro lado, no existe una clara obstrucción cuando nos fijamos en una categoría con una infinidad de objetos.

Entonces, ¿por qué todavía estamos a favor de ruta de álgebras? La razón es que la mayoría de las técnicas que trabajan en la ruta de álgebras no llegan a la categoría de álgebras. Cuando usted tiene una ruta de acceso álgebra, la mayoría de los homológica trabajo se convierte en combinatoria. Sin embargo, si usted tiene una categoría de álgebra, todavía es muy difícil ver lo que la proyectiva indecomposables son (recuerda que el grupo de álgebra!).