Determinante de la matriz cuadrada intercalada

Question

Supongamos que $A$ es un $m\times m$ matriz, y $S$ a $m\times n$ matriz. ¿Es posible que la relación $$ \det S^{\dagger}A S= \det A \det S^{\dagger}S$$ para mantener también para $n\neq m$ ?

Por ejemplo, si $\det A = 0$ ¿es cierto que también $\det S^{\dagger}AS = 0$ ?

Answer 1

La igualdad no se mantiene en general. Consideremos el siguiente contraejemplo:

$A=\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & x \end{bmatrix}$ y $S=\begin{bmatrix} y \\ 0 \end{bmatrix} .$ A continuación, observe que $$ \det (S^{\dagger}AS) = y^2,\quad \det(A)\det(S^{\dagger}S)=xy^2. $$ Escoger lo adecuado $x$ y $y$  se puede ver que la igualdad no se mantiene. También se puede tomar $x=0$ si necesitas un ejemplo no invertible.