Valor esperado del cuadrado de dos variables aleatorias

Question

Si dejamos que X sea una variable aleatoria con valor esperado m y la varianza k y que $X_1$ y $X_2$ sean variables aleatorias que resulten de aplicar $X$ a dos ensayos independientes de este particular experimento Bernoulli, lo que es $E((X_1 X_2)^2)$ ?

Aprendí la linealidad de la expectativa, pero hasta donde he llegado fue $E((X_1)^2-2*X_1*X_2+(X_2)^2)$ después de la expansión polinómica.

No tengo ni idea de cómo proceder a partir de aquí.

Answer 1

Desde $X_1$ y $X_2$ son independientes, tenemos $$\mathbb E[X_1X_2] =\mathbb E[X_1]\mathbb E[X_2] = \mathbf m^2.$$ (Como ejercicio, podrías demostrar a partir de la definición de independencia que ésta implica efectivamente que la expectativa del producto es el producto de las expectativas -suponiendo que ambas variables aleatorias tienen segundo momento finito-). Se deduce entonces que \begin{align} \mathbb E[(X_1-X_2)^2] &= \mathbb E[X_1^2 -2X_1X_2 +X_2^2]\\ &= \mathbb E[X_1^2] - 2\mathbb E[X_1X_2] + \mathbb E[X_2^2]\\ &= 2(\mathbf m^2 +\mathbf k - \mathbf m^2)\\ &= 2\mathbf k. \end{align}