Los puntos fijos de los automapas analíticos de $\mathbb{D}$

Question

Hasta ahora, he asumido que $z_1$ es un punto fijo de un auto-mapa analítico de $\mathbb{D}$ . Entonces, invoqué el auto mapa conformado de $\mathbb{D}$ , $\phi$ para tomar $z_1\to 0$ . Se deduce del lema de Schwarz que la composición $\phi \circ f \circ \phi^{-1}$ es una rotación o $|(\phi \circ f \circ \phi^{-1} )(z)|<|z|$ . En cualquier caso, $\phi \circ f \circ \phi^{-1}$ tiene exactamente un punto fijo: cero. ¿Cómo puedo demostrar que si $\phi \circ f \circ \phi^{-1}$ tiene como máximo un punto fijo en $\mathbb{D}$ entonces $f$ también tiene como máximo un punto fijo?

Answer 1

Supongamos que $f$ tenía dos puntos fijos $z_1$ y $z_2$ ; encontrar las preimágenes $w_1$ y $w_2$ en $\phi^{-1}$ eso es, $\phi^{-1}(w_1) = z_1$ y $\phi(z_1) = w_1$ . A continuación, calculamos

$$(\phi \circ f \circ \phi^{-1})(w_1) = \phi(f(\phi^{-1}(w_1))) = \phi(f(z_1) = \phi(z_1) = w_1$$

De forma idéntica, $w_2$ es un punto fijo de $\phi \circ f \circ \phi^{-1}$ Así que $f$ puede tener como máximo $1$ punto fijo.