Sistema no lineal simple - Multiplicadores de Lagrange

Question

Estoy tratando de minimizar la función $f(x) = \sum_{i=1}^{n}(\log(|x_i|))^2$ en la bola unitaria cerrada $B(0, 1) \subset \mathbb R^n$ donde la función se define como $\infty$ si $x_i = 0$ .

Lo que hice

En primer lugar, observe que la función es simétrica con respecto al signo, por lo que para facilitar las cosas podemos trabajar simplemente con los no negativos $x_i$ y eliminar el valor absoluto. Por lo tanto, queremos minimizar $f(x) = \sum_{i=1}^{n}(\log(x_i))^2$ con las limitaciones dadas $x_i \geq 0$ , $\sum_{i=1}^{n}x_i^2 \leq 1$ .

Busquemos primero un mínimo local: $\nabla f(x) = \begin{pmatrix}\frac{2\log(x_1)}{x_1} \\ \vdots \\ \frac{2\log(x_n)}{x_n}\end{pmatrix} = 0$ implica $x_1 = x_2 = \dots = x_n = 1$ que está fuera de nuestro dominio, por lo que no hay mínimo local.

Si cualquier $x_i = 0$ entonces definitivamente no tenemos un mínimo ya que la función fue definida para ser $\infty$ allí. Por lo tanto, nuestro mínimo debe ser cuando $x_i > 0$ y $\sum_{i=1}^{n}x_i^2 = 1$

Utilizando los multiplicadores de Lagrange, obtenemos que tenemos que resolver el sistema:

$\begin{cases}\frac{\log(x_i)}{x_i} = \lambda x_i \\ \sum_{i=1}^{n}x_i^2 = 1\end{cases}$

¿Cómo puedo resolver este sistema? Obviamente $x_1 = x_2 = \dots = x_n$ es una posible solución, pero quizá haya más...

Answer 1

Una pista.

$$ L(x,\lambda) = \sum_{k=1}^n(\log x_k)^2+\lambda\left(1-\sum_{k=1}^n x_k^2\right) $$

por lo que los puntos estacionarios son las soluciones para

$$ \frac{\log x_k}{x_k}-\lambda x_k = 0\\ 1-\sum_{k=1}^n x_k^2=0 $$

pero

$$ \lambda = \frac{\log x_k}{x_k^2}\Rightarrow x_1=x_2=\cdots=x_n = x^* $$

entonces

$$ 1+n (x^*)^2 = 0\Rightarrow x^* = \sqrt{\frac 1n} $$

NOTA

Considerando la ecuación

$$ \frac{\log x}{x^2} = \frac 12 \frac{\log x^2}{x^2} = -\mu\Rightarrow \log x^2=-2\mu x^2 $$

que da la solución

$$ x = \pm \sqrt{\frac{W(2\mu)}{2\mu}} $$

Aquí $W(\cdot)$ es la función de Lambert. Entonces

$$ 1-n \frac{W(2\mu)}{2\mu} = 0\Rightarrow \mu =\frac 12 n\log n $$

y

$$ x^* = e^{-\frac 12 W(n\log n)} = \sqrt{\frac 1n} $$