¿Por qué esto no contradice el Teorema de Convergencia Monótona y Dominada?

Question

$$\lim_{n \to \infty} \int_0^\infty f_n(x)dx \ne \int_0^\infty \lim_{n \to \infty} f_n(x)dx$$

donde : $f_n=ne^{-nx}$ para todos $x \in [0,\infty)$ $n \in \mathbb{N}$

¿Puede alguien ayudarme con la explicación?

Answer 1

Tenga en cuenta que $e^{-nx} \geq 1-nx$ . Por lo tanto, si $x \in \left [0,\frac{1}{2n} \right ]$ , $f_n(x) \geq n/2$ Así que $\int_0^{\frac{1}{2n}} |f_n(x)| dx \geq 1/4$ . Desde $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{2n} = 0$ concluimos que $f_n$ no es uniformemente integrable. Cualquier secuencia dominada es uniformemente integrable, así que tu secuencia tampoco es dominada. También es fácil ver que no es monótona.

Answer 2

La secuencia $\{f_n\}$ no es creciente, por lo que descarta el MCT.

Para DCT, no puedo encontrar un argumento fácil de que cualquier función $g$ con $g\geq f_n$ para todos $n$ no puede ser integrable. Pero tiene que ser así, porque si no la DCT daría la igualdad.