Demuestre si $\lim_{x\to +\infty}(f(x)+f'(x))=0$ entonces $\lim_{x\to +\infty} f(x)=0$

Question

Dejemos que $f$ sea una función real continuamente diferenciable en $\Bbb R$ tal que $$\lim_{x\to +\infty}(f(x)+f'(x))=0$$ demostrar que

$$\lim_{x\to +\infty} f(x)=0$$ Intenté usar la función exponencial sabiendo que

$$\frac{d}{dx}f(x)e^x=(f(x)+f'(x))e^x$$ pero no tengo nada. gracias de antemano por una respuesta o una idea

Answer 1

¿Podría demostrarlo por contradicción? Si $\lim_{x\rightarrow \infty} f'(x) \neq 0$ entonces $\lim_{x\rightarrow \infty} f(x) = -\lim_{x\rightarrow \infty} f'(x)$ pero si $f'>0$ entonces $f$ es creciente, y si $f'<0$ entonces $f$ está disminuyendo - eso parece una contradicción.