¿Cómo puedo justificar la fórmula del caudal del orificio?

Question

Estoy escribiendo mi primer trabajo de matemáticas y estoy utilizando una fórmula para el caudal másico de un líquido a través de un orificio. Encontré esta fórmula mencionada en algunos videos en línea (como este ) pero no pude encontrar la fuente de la fórmula. La fórmula es $$m' = \frac{(\Delta p)^{\frac{1}{\alpha}}}{R}$$ donde $m'$ es el caudal másico, $\Delta p$ es la diferencia de presión entre los dos lados del orificio, $\alpha$ es 1 para el flujo laminar y 2 para el flujo turbulento, y $R$ es la resistencia del orificio.

¿Cómo se justifica esta fórmula? Estoy buscando una derivación con citas que la acompañen: ya sea un artículo en el que se derive la fórmula (no es necesario que sea un resultado principal), o citas de los supuestos de la derivación.

Algunas búsquedas apuntan a que la fórmula se deriva de la ecuación de Bernoulli, o de la ecuación de Poiseuille (¿quizá Hagen-Poiseuille?), pero no encuentro una coincidencia clara. Además, todas las ecuaciones parecen referirse específicamente al flujo laminar o turbulento.

También encontré esta pregunta que parece tener alguna relación con mi pregunta (menciona que el término de grado uno domina el flujo laminar, mientras que el término de grado dos domina el flujo turbulento) pero no puedo obtener una referencia concreta de él.

Answer 1

El caso laminar con $\alpha=1$ (es decir, $\frac{dm}{dt} \propto \Delta p$ ) se desprende directamente de Ecuación de Pouseille .

El caso turbulento, $\frac{dm}{dt} \propto \sqrt{\Delta p}$ parece ser un límite superior del caudal para fluidos incompresibles, derivado de la Ecuación de Bernoulli $p + \frac12 \rho v^2 = \text{constant}$ .

Obsérvese que la constante de proporcionalidad (su $R$ ) para una geometría determinada generalmente no sea la misma para el flujo laminar y para el turbulento; en los dos casos las constantes $R_\text{laminar}, R_\text{turbulent}$ incluso deben tener unidades diferentes.

El límite entre el flujo laminar y el turbulento es complicado; un buen punto de partida para el análisis es fingir que el flujo es laminar o turbulento y prepararse para no dejarse sorprender por las sutilezas.

Answer 2

Observando el flujo en una tubería estrecha ( flujo laminar en tubería ) tenemos las siguientes relaciones

$$ \begin{array}{ll} \text{Mass flow rate} & m' = \rho A v \\ \text{Pressure Resistance} & \frac{\Delta p}{\rho g} = f \frac{\ell}{d} \frac{v^2}{2 g} \\ \text{Friction Factor} & f = \frac{64}{\rm Re} \\ \text{Reynold's number} & {\rm Re} = \frac{\rho d v}{\mu} \end{array}$$

Combinados dan como resultado

$$ m' = \frac{\rho A d^2}{32 \mu \ell} \Delta p $$

que coincide con la ecuación dada para el flujo laminar si $R = \frac{32 \mu \ell}{\rho A d^2}$ .

En el caso del flujo turbulento, el factor de fricción es más complejo, por lo que deben haber realizado algún ajuste de curvas para llegar a la $\sqrt{\Delta p}$ (probablemente un término relacionado con la velocidad, ya que $\Delta p \propto \frac{\ell}{d} v^2$ ).