Problema de las raíces del polinomio dado por la suma de series geométricas

Question

Digamos que quiero distribuir folletos durante 60 meses y en total quiero distribuir $2500000$ folletos. En mi primer mes quiero distribuir $8000$ folletos y luego quiero aumentar mi velocidad de distribución cada mes al mismo ritmo para llegar finalmente a $2500000$ en el mes 60.

Esencialmente creo que quiero esta ecuación (1): $$8000+8000x+8000x^2+...8000x^{59}=2.50\cdot10^6$$ Podemos reescribirlo como $$8000[1+x+x^2+...+x^{59}]=2.5\cdot10^6$$ Por lo tanto, $$1+x+x^2+...x^{59}=312.5$$ Tengo una serie geométrica con $a_1$ =1 y necesito encontrar r. Por lo tanto $$312.5=\frac{1\cdot(1-x^{60})}{1-x}$$ Lo que da el polinomio (2): $$x^{60}-312.5x+311.5=0$$ Lo introduzco en matlab y obtengo un montón de raíces complejas y dos raíces reales que son:

1.046923161434767 + 0.000000000000000i
1.000000000000000 + 0.000000000000000i

Vuelvo a comprobar que la primera raíz funciona en excel (Buncf o filas ocultas) y funciona FELICES DÍAS:

PREGUNTA Entiendo que $x=1$ es una raíz del polinomio (2), pero claramente no satisface mi ecuación inicial (1). ¿Por qué la ecuación de la suma de series geométricas finitas permite esto? Si utilizara cualquiera de las 58 raíces complejas restantes, ¿me daría 2,5 millones?

Answer 1

La fórmula de la suma de una serie geométrica finita no es válida cuando el cociente común $x$ es $1$ . En efecto, se obtiene dividiendo por $1-x$ lo que no es posible si $x=1$ Así, la ecuación $$312.5=\frac{1\cdot(1-x^{60})}{1-x}$$ sólo es equivalente a su ecuación original (1) suponiendo que $x\neq 1$ . Bajo esa suposición, se puede entonces multiplicar reversiblemente ambos lados por $1-x$ para encontrar que la ecuación (2) es equivalente.

Por lo tanto, las ecuaciones (1) y (2) son equivalentes suponiendo que $x\neq 1$ . Esto significa que las soluciones de la ecuación (2) además de $x\neq 1$ son todas las soluciones de la ecuación (1), y $x=1$ puede o no ser también una solución de la ecuación (1) (y en este caso no lo es).

En términos más generales, la lección aquí es que resolver una ecuación no es sólo cuestión de hacer manipulaciones para llegar a una respuesta. Es fundamental comprender la lógica detrás de estas manipulaciones, ya que en realidad estás argumentando que ciertas ecuaciones implica otras ecuaciones bajo ciertos supuestos. La direccionalidad de las implicaciones y los supuestos necesarios marcan la diferencia.

Answer 2

Has multiplicado por $1-x$ al convertir la ecuación fraccionaria en una ecuación polinómica. Entonces una raíz $1-x=0, x=1$ proviene de este factor multiplicador y no de su ecuación original.

Si te hubieras quedado con la suma de la serie geométrica original, que tenía grado $59$ en lugar de $60$ no habría habido este factor multiplicador extra y todas las raíces serían buenas, excepto por el hecho de que distribuir un número complejo de folletos podría ser un poco difícil de implementar. Por otra parte, introducir el polinomio largo en el ordenador es menos desafiante, pero sigue sin ser atractivo.