Hahn-Banach Elección de la constante $c$ y la norma del funcional lineal.

Question

Estoy desconcertado por la elección de la constante $l(x)=c$ para el teorema geométrico de Hahn-Banach (teorema de separación de hiperplanos).

Puede $c$ ser cualquier número real, o depende del contexto?

Además, he visto gente que controla la norma del funcional lineal $l$ por ejemplo, dejando $\|l\|=1$ . ¿Por qué se permite esto?

Antecedentes: La versión de Hahn-Banach en mi texto es:

Dejemos que $K$ sea un subconjunto convexo no vacío de un espacio lineal $X$ sobre los reales; supongamos que todos los puntos de $K$ son interiores. Cualquier punto $y$ no en $K$ puede separarse de $K$ por un hiperplano $l(x)=c$ es decir, existe una función lineal $l$ , en función de $y$ , de tal manera que $l(x)<c$ para todos $x\in K$ , $l(y)=c$ .

Sé que algunas fuentes ponen $c=1$ pero, ¿es posible que elijamos nuestra propia $c$ ?

Podemos elegir la norma de l, $\|l\|$ ¿que sea lo que queramos?

Answer 1

En esta versión del Teorema de Hahn-Banach:

Teorema $\spadesuit$ : Dejemos que $K$ sea un subconjunto convexo no vacío de un espacio lineal $X$ sobre los reales; supongamos que todos los puntos de $K$ son interiores. Cualquier punto $y$ no en $K$ puede separarse de $K$ por un hiperplano $l(x)=c$ es decir, existe una función lineal $l$ , en función de $y$ , de tal manera que $l(x)<c$ para todos $x\in K$ , $l(y)=c$ .

Supongamos que $l$ como la función lineal del Teorema $\spadesuit$ . Si $c=0$ entonces no es posible reformular Teorema $\spadesuit$ cambiando $c$ por otra constante $C\neq 0$ .

Si $c\neq 0$ sabemos que para todos los $\alpha \in \mathbb{R}$ , $\alpha l $ es un funcional lineal, pero hay que tener cuidado ya que no todos los funcionales lineales de este tipo $\alpha l $ satisfacer el Teorema $\spadesuit$ .

El funcional lineal $\alpha l $ satisfaciendo Teorema $\spadesuit$ son aquellos para los que $\alpha$ preservar la desigualdad $\alpha l (x)<\alpha c$ . En este sentido, para cualquier $C\in \mathbb{R}$ con $C\neq 0$ podemos reformular Teorema $\spadesuit$ cambiando $c$ por la constante $C$ y $l$ por $L$ donde $L=\alpha l$ para la elección adecuada de $\alpha$ Esta elección es: $$ \alpha=\left\{\begin{array}{rcl} \frac{C}{c} && \mbox{If } C,c>0 \mbox{ or } C,c<0. \\ \frac{-C}{c} && \mbox{If } C>0 \mbox{ and } c<0, \mbox{ or } C<0 \mbox{ and } c>0. \\ \end{array}\right. $$