Puede $f(x)=\sin(x) + \cos^2(x)$ tomar el valor $\sqrt{2}$ ?

Question

Puede $f(x)$ tomar el valor de $\sqrt{2}$ , donde $$f(x) = \sin(x) + (\cos(x))^2\quad ?$$

Al equiparar el valor de $f(x)$ a $\sqrt{2}$ da valores imaginarios de $\sin(x)$ .

Gracias de antemano.

Answer 1

Desde $\cos^2x=1-\sin^2 x$ nuestra ecuación se convierte en $\sin^2 x-\sin x+\sqrt{2}-1=0$ .

Resuelve la ecuación $w^2-w+\sqrt{2}-1=0$ . Las raíces son $$w=\frac{1\pm \sqrt{1-4(\sqrt{2}-1})}{2}.$$ El discriminante $1-4(\sqrt{2}-1)$ es negativo, por lo que nuestra cuadrática en $w$ no tiene ninguna raíz real. De ello se deduce que no puede haber un real número $x$ tal que $\sin x+\cos^2 x=\sqrt{2}$ .

Esto no responde completamente a la pregunta. Podemos preguntarnos si hay soluciones complejas no reales. Para ello, mira los dos valores no reales de $w$ obtenida arriba. Llámalos $w_1$ y $w_2$ . Recordemos que si $z$ es un número complejo, entonces $$\sin z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}.$$ Así que queremos resolver las ecuaciones $$e^{iz}-e^{-iz}=2iw_j \quad (j=1,2).$$ Multiplica ambos lados por $e^{iz}$ y simplificar. Obtenemos $$e^{2iz}-2iw_je^{iz}-1=0.$$ Realice la sustitución $u=e^{iz}$ . Llegamos a las ecuaciones $$u^2-2iw_j u-1=0 \quad (j=1,2).$$ Se trata de una ecuación cuadrática con coeficientes complejos. Se pueden escribir las soluciones de forma más o menos habitual, y a partir de ellas obtener los valores de $z$ que funcionan. Hay infinitamente muchos de ellos, al igual que hay, por ejemplo, infinitamente muchos $x$ tal que $\sin x=1/2$ .

Nota: Para demostrar que no hay soluciones reales, no es necesario recordar la Fórmula Cuadrática. Nos interesa la ecuación $\sin^2 x-\sin x-1+\sqrt{2}=0$ .

Si completamos el cuadrado, obtenemos $$\sin^2 x-\sin x-1=\left(\sin x-\frac{1}{2}\right)^2-\frac{5}{4}.$$ Desde $\left(\sin x-\frac{1}{2}\right)^2\ge 0$ se deduce que $\sin^2 x-\sin x-1$ debe ser siempre $-\frac{5}{4}$ . Desde $\sqrt{2}-\frac{5}{4}$ es positivo, concluimos que no podemos tener $\sin^2 x-\sin x-1+\sqrt{2}=0$ . .

Answer 2

Los extremos locales se producirán cuando $f\,'(x)=0$ o cuando se factoriza, $(\cos x)(1-2\sin x)=0$ . Podemos utilizar la identidad $\sin^2 x+\cos^2x=1$ para calcular los posibles extremos como

$$\cos =0 \implies \qquad \pm\sqrt{1-0^2}+0^2=\pm1 $$

$$\sin = 1/2 \implies \qquad \frac{1}{2}+\left|1-\frac{1}{2^2}\right|=5/4.$$

Por supuesto $f$ es periódica y acotada por lo que su imagen debe ser $(-1,5/4)$ que no incluye $\sqrt{2}$ .

$\hskip 1.6in$

Este razonamiento se aplica a los reales. Permitir argumentos complejos es otra historia.

Answer 3

Usted pregunta si $f(x) = \sin x + \cos ^2 x$ puede ser igual a $\sqrt 2$ . En resumen, no, no puede.

Ahora es cuando me tomo un momento para agradecer a anon por señalar que $1 < \sqrt 2$ . Todo eso de la aritmética.... sí. De todos modos.

Si se utiliza la prueba de la primera derivada, se puede observar que el máximo debe ocurrir alrededor de $\pi/6$ o $5 \pi / 6$ (más los múltiplos de $2\pi$ si se desea). Con estos dos valores, la función es un mero $1.25$ que (espero que anon me compruebe de nuevo) es menos que $\sqrt 2$ .

Answer 4

Poner $\sin x =:u$ . Entonces la pregunta es si la función $$g(u):=u+(1-u^2)={5\over4}-\Bigl(u-{1\over2}\Bigr)^2$$ puede tomar el valor $\sqrt{2}$ en el intervalo $-1\leq u\leq 1$ . Es evidente que no es el caso.