Probabilidad de aprobar un examen tipo test, ¿fórmula general?

Question

Se le presenta un examen de opción múltiple en el que cada pregunta tiene una respuesta correcta.
Primero resuelve todas las preguntas que sabe con seguridad y luego elige el resto al azar.
¿Cuáles son las probabilidades de aprobarlo para una determinada calificación de aprobado?

Después de un pico de qucik en el Distribución binomial He llegado a la siguiente expresión:
(Corríjanme si me he equivocado en algo, pero creo que no será necesario)

$$ P = \sum_{t = \lceil p q \rceil-n}^q \binom{q}{t}\frac{(a-1)^{q-t}}{a^q}$$

$p$ - calificación de aprobado de $0$ % a $100$ % $(0\le p \le 1)$
$q$ - número de preguntas desconocidas
$n$ - número de preguntas conocidas (correctas)
$a$ - número de respuestas (opciones) por pregunta

Si $t \le 0$ entonces usa $P = 1$ seguro que has aprobado.

Pero esto parece demasiado para calcular si se va a hacer a mano y se trata de valores grandes o "feos" aunque sea tan simple como creo que puede ser.

Estoy buscando formas y fórmulas más fáciles y rápidas para hacer este cálculo, o al menos una buena y calculable a mano aproximación .

Supongo que siempre se puede redondear un poco los valores "feos", y para los valores grandes buscar en una tabla de coeficientes binomiales? Pero entonces, ¿hay una manera mejor o por qué no?

Answer 1

Permítanme definir algunas variables propias:

$n$ =número de preguntas

$k$ =número de preguntas cuyas respuestas se conocen.

$u$ =número de preguntas cuyas respuestas son desconocidas.

$a$ = número de respuestas (opciones) por pregunta.

$c\leq u$ es el número mínimo de preguntas cuyas respuestas son desconocidas y hay que elegir la respuesta correcta para aprobar el examen.

Así, $q=\frac1a$ es la probabilidad de que se seleccione la respuesta correcta si la respuesta es desconocida.

$\frac{k}{n}\leq P \leq 1$ es el umbral para aprobar el examen.

La desigualdad es

$\frac{k}n+\sum_{i=0}^{c} \binom{u}{i} q^i\cdot (1-q)^{u-i}\geq P$

$\sum_{i=0}^{c} \binom{u}{i} q^i\cdot (1-q)^{u-i}\geq P-\frac{k}n$

Si $X$ se distribuye como $X\sim Bin(u,q)$ entonces la ecuación se puede escribir como

$P(X\leq c)\geq P-\frac{k}n$

Si $u$ es lo suficientemente grande se puede aplicar el teorema del límite central (Aproximación de la distribución binomial por la distribución normal). En caso contrario, hay que calcular $\sum_{i=0}^{c} \binom{u}{i} q^i\cdot (1-q)^{u-i}$ para algunos $c.$