Principales raíces imaginarias de Descartes

Question

Si $\ a_1,\ a_2,\ a_3,...\ a_n$ $n\ge2$ son reales y $(n-1)\ a_1^2 -2n\ a_2 <0$ demostrar que al menos dos raíces de la ecuación $x^n+\ a_1x^{n-1}+\ a_2x^{n-2}+...+\ a_n=0$ son imaginarios.

Manualmente soy capaz de probarlo como $\ a_2$ es siempre positivo. He probado diferentes combinaciones y ha funcionado, pero necesita una prueba lógica de la ecuación.

Answer 1

Supongamos primero que todas las raíces del polinomio $f=x^n+ a_1x^{n-1}+ a_2x^{n-2}+\dots+ a_n$ son reales y distinto. Entonces la derivada $f'$ tiene también todas las raíces reales y distintas, se colocan en los intervalos abiertos entre las raíces consecutivas. Inductivamente, construimos la derivada hasta obtener un polinomio de grado dos. Este polinomio es $$ g= f^{(n-2)}(x) = \frac {n!}{2!} \cdot x^2 + \frac {(n-1)!}{1!}\cdot a_1x + \frac {(n-2)!}{0!}\cdot a_2 \ . $$ Calculamos $g/(n-2)!$ que es $\frac 12n(n-1)x^2+(n-1)a_1x+a_2$ tiene discriminante $<0$ por la relación dada, por lo que no hay raíces reales. Contradicción.

Nuestra suposición es falsa.

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El caso en el que hay múltiples raíces se cubre de forma análoga, bien considerando una deformación de las raíces, o bien observando que si $f$ tiene una raíz con multiplicidad algebraica $r$ , entonces la raíz sobrevive con multiplicidad $(r-1)$ en la derivada.