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La suma infinita $ \sum_{m=2}^\infty \space \frac {1} {p_m \space \log\space m} $

Dejemos que $p_n$ denotan el $n$ por ejemplo $p_1$ = $2$ , $p_2 = 3 $ etc. Entonces es la suma $$ \sum_{m=2}^\infty \space \frac {1} {p_m \space \log\space m} $$ ¿convergente?

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Anthony Shaw Puntos 858

Desde $$ \pi(n)=\frac{n}{\log(n)}+O\left(\frac{n}{\log(n)^2}\right) $$ obtenemos $$ \begin{align} \pi(n\log(n)) &=\frac{n\log(n)}{\log(n\log(n))}+O\left(\frac{n\log(n)}{\log(n\log(n))^2}\right)\\[6pt] &=n\left(1+O\left(\frac{\log(\log(n))}{\log(n)}\right)\right) \end{align} $$ Por lo tanto, $$ n=\pi(n\log(n))\left(1+O\left(\frac{\log(\log(n))}{\log(n)}\right)\right) $$ que muestra que $$ p_n\sim n\log(n) $$ Utilizando esto da que $$ \sum_{n=2}^\infty\frac1{p_n\log(n)} $$ converge por comparación con $$ \sum_{n=2}^\infty\frac1{n\log(n)^2} $$ que converge por la prueba integral.

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Adam Kahtava Puntos 383

Esto es esencialmente lo mismo que $$ \sum\frac{1}{x\log^2x} $$ que converge ya que $$ \int\frac{dx}{x\log^2x} $$ converge. No es difícil conseguir una desigualdad para precisar esto.

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DonAntonio Puntos 104482

$$\forall\,n\in\Bbb N\,\,\,,\,\,p_n<n\Longrightarrow \frac{1}{p_n\log n}\geq\frac{1}{n\log n}$$

y como

$$\sum_{n=2}^\infty\frac{1}{n\log n}$$

diverge (por ejemplo, utilizando la prueba de condensación de Cauchy), nuestra serie también diverge.

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