Demuestra que $f(x)=x^r+r^x$ está aumentando

Question

Sé que la función $f(x)=x^r+r^x$ es creciente cuando $0<r<1$ y $x\geq 2$ por el gráfico. ¿Cómo demostrarlo? No pude demostrarlo .

Answer 1

Tenemos que demostrar que $rx^{r-1}+r^x\log(r) > 0$ para $r\in (0,1)$ y $x\ge 2$ . Esta desigualdad equivale a $\tfrac{x^{r-1}}{r^{x-2}(-r\log(r))} > 1$ es decir, $$ \frac{1}{-r\log(r)}e^{(r-1)\log(x)-(x-2)\log(r)} > 1. $$ El LHS es positivo, por lo que es válido aplicar el logaritmo: $$ -\log(-r\log(r)) + (r-1)\log(x)-(x-2)\log(r) > 0. $$ El primer sumando es independiente de $x$ y se ve fácilmente que es mayor que $1$ para $r\in (0,1)$ . Por lo tanto, basta con demostrar que $h_r(x)\ge -1$ , donde $$ h_r(x) := (r-1)\log(x)-(x-2)\log(r). $$ Desde $r-1 < 0$ y $\log(x)\le x-1$ tenemos $$ h_r(x)\ge (r-1)(x-1)-(x-2)\log(r) = (x-2)(r-1-\log(r)) + r-1. $$ Ahora, echa un vistazo a $g(r) = r-1-\log(r)$ . Tenemos $g(0+) = +\infty$ , $g(1-) = 0$ y $g'(r) = 1-\tfrac 1 r < 0$ . Así, $g(r) > 0$ para $r\in (0,1)$ y $h_r(x)\ge r-1 > -1$ sigue para $x\ge 2$ .

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Con este análisis podemos decir más: como se muestra arriba, la función $f_r(x) = x^r+r^x$ aumenta en $x$ si y sólo si $-\log(-r\log(r)) + h_r(x) > 0$ . Como $h_r$ es convexo y su mínimo está en $x=m(r):=\tfrac{r-1}{\log(r)}$ la función $f_r$ aumenta en $[0,\infty)$ si y sólo si $G(r) := -\log(-r\log(r)) + h_r(m(r)) > 0$ . Un gráfico muestra que $G$ es una función creciente en $(0,1)$ y que su cero está en algún lugar cercano a $0.39$ . En particular, $f_r$ está aumentando en $[0,\infty)$ para todos $r\ge 0.4$ .

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Además, $$ -\log(-r\log(r)) + h_r(x)\ge (r-1-\log(-r\log(r))) + (x-2)(r-1-\log(r)). $$ Por lo tanto, $-\log(-r\log(r)) + h_r(x) > 0$ si $$ 2-x < \frac{r-1-\log(-r\log(r))}{r-1-\log(r)}. $$ Un gráfico muestra que la función en el lado derecho está limitada por $0.38$ . Por lo tanto, $f_r$ incluso está aumentando en $[1.62,\infty)$ para todos $r\in (0,1)$ .

Answer 2

Pista: Puedes calcular la primera derivada $$f'(x)=rx^{r-1}+r^x\ln(r)$$ pero el sumando $r^x\ln(r)$ es negativo para $$0<r<1$$

Answer 3

Necesitamos $$f'(x)=rx^{r-1}+\ln r\cdot r^x > 0.$$ Esto es lo mismo que $$ rx^{r-1}>\ln(1/r)\cdot r^x. $$ Vuelve a escribir el RHS: $$\ln(1/r)\left(1-x\ln(1/r) - \frac12x^2\ln^2(1/r) + O(x^3)\right).$$ ¿Puede continuar?