¿Es la homología de $\Omega^2\Sigma^2X$ ¿libre como un álgebra de Gerstenhaber?

Question

Dejemos que $X$ sea un espacio conexo. Según Getzler Álgebras BV y teorías de campo topológicas bidimensionales , página 271, tenemos y el isomorfismo

$ H_*(\Omega^2\Sigma^2X) \cong {\cal G}( \widetilde{H}_* X ) $

donde ${\cal G}( V)$ es el álgebra libre de Gerstenhaber (Getzler la llama "trenza") sobre el espacio graduado $V$ y $\widetilde{H}$ es la homología reducida.

Getzler atribuye los resultados de Cohen en La homología de los espacios de bucles iterados para este isomorfismo. Lo más parecido que puedo encontrar ahí es el teorema 3.2 de Cohen, en su capítulo "La homología de $C_{n+1}$ -espacios, $n\geq 0$ ", lo que parece, pero tengo algunos problemas para deducir la afirmación de Getzler.

En primer lugar, Getzler dice estar trabajando con coeficientes complejos, y Cohen con $\mathbb{Z}_p$ los ¿Está claro que el resultado debe ser verdadero sin importar los coeficientes? ¿También los coeficientes racionales?

En segundo lugar, el resultado de Cohen para $n=1$ sería, supongo, el caso de Getzler:

$ H_*(\Omega^2\Sigma^2X) \cong GW_1(H_*X) \ . $

Pero aquí el functor de álgebra libre es este $GW_1$ con el que estoy teniendo algunos problemas para identificarme ${\cal G}$ .

Cualquier sugerencia u otras referencias serán muy apreciadas.

Answer 1

En $\mathbb{Z}_p$ no es cierto que $H_*(\Omega^2\Sigma^2X)$ es el álgebra libre de Gerstenhaber. En cambio, Cohen demuestra que $H_*(\Omega^n\Sigma^nX)$ es un objeto libre en una categoría más elaborada que implica algunas operaciones de Dyer-Lashof. En el caso $n=2$ sólo hay una operación Dyer-Lashof, pero sigue siendo muy compleja. Sin embargo, las operaciones de Dyer-Lashof están controladas por la homología de los grupos simétricos. Si utilizamos coeficientes racionales, la homología de cualquier grupo finito es cero en grados positivos y, por tanto, todas las operaciones de Dyer-Lashof son cero. Por tanto, se espera obtener un álgebra de Gerstenhaber libre, pero no sé dónde se explica eso. No habrá ninguna diferencia interesante entre $\mathbb{Q}$ y $\mathbb{C}$ aquí; hay un isomorfismo natural $H_*(X;\mathbb{C})=H_*(X;\mathbb{Q})\otimes\mathbb{C}$ para todos los espacios $X$ .