Límite de $\left(2-a^\frac{1}{x}\right)^x$

Question

¿Cómo puedo probar el siguiente límite?

$$\lim_{x \to \infty}\left(2-a^\frac{1}{x}\right)^x = \frac{1}{a}$$

Answer 1

Dejemos que $$L= \lim_{x\to\infty}(2-a^{\frac{1}{x}})^x$$ así que pasando $\ln$ en la ecuación anterior obtenemos $$\ln L= \ln(\lim_{x\to\infty}(2-a^{\frac{1}{x}})^x)= \lim_{x\to\infty}\ln((2-a^{\frac{1}{x}})^x)= \lim_{x\to\infty}x\ln (2-a^{\frac{1}{x}})= \lim_{x\to\infty}\frac{\ln (2-a^{\frac{1}{x}})}{\frac{1}{x}}$$ Utilizando la regla de L'hopital obtenemos $$\ln L=\lim_{x\to\infty}\frac{\frac{-a^{\frac{1}{x}}(\frac{-1}{x^2})\ln a}{2-a^{\frac{1}{x}}}}{\frac{-1}{x^2}}= \lim_{x\to\infty} \frac{-a^{\frac{1}{x}}\ln a}{2-a^{\frac{1}{x}}}=-\ln a= \ln a^{-1}$$ Por lo tanto, $$L=a^{-1} \therefore \lim_{x\to\infty}(2-a^{\frac{1}{x}})^x=a^{-1}=\frac{1}{a}$$

Answer 2

$$\lim_{x \to \infty}\left(2-a^\frac{1}{x}\right)^x = \lim_{x \to \infty} e^{x \ln(2-a^{\frac{1}{x}})}=\lim_{x \to \infty} e^{x \ln(1+1-a^{\frac{1}{x}})}=\lim_{x \to \infty} e^{x \ln(1-(a^{\frac{1}{x}}-1))}=\lim_{x \to \infty} e^{x \ln(1-\frac{1}{x}\ln a)}=$$

$$= \lim_{x \to \infty} e^{x \ln(1-\frac{1}{x}\ln a)}= \lim_{x \to \infty} e^{x (-\frac{1}{x}\ln a)}=\lim_{x \to \infty} e^{-\ln a}=e^{\ln(\frac{1}{a})}=\frac{1}{a}$$

Answer 3

$$\lim_{x \to \infty} \left(2-a^\frac{1}{x}\right)^x = \exp \log \lim_{x \to \infty} \left(2-a^\frac{1}{x}\right)^x = \exp \lim_{x \to \infty} \log \left(2-a^\frac{1}{x}\right)^x = \exp \lim_{x \to \infty} x \log \left(2-a^\frac{1}{x}\right) = \exp \lim_{t \searrow 0} \frac{1}{t} \log \left(2-a^t\right) = \exp \lim_{t \searrow 0} \frac{\log 2-a^t}{t} $$

Usando L'Hospital:

$$ = \exp \lim_{t \searrow 0} \frac{\overbrace{a^t}^{\to 1} \log(a)}{\underbrace{a^t}_{\to 1}-2} = \exp \frac{1 \log(a)}{1-2} = \exp (- \log(a)) = \frac{1}{a} $$