Dado $f(x)$ 's graph, cómo puedo obtener $g(x)$ 's graph knowing $(f(x) )^2 = g(x)$

Question

La ecuación $$f(x) = \frac{x+2}{x-2}$$ tiene dos asíntotas: $x=2$ y $y=1$ . $f(x)$ El gráfico de la empresa se parece a una hipérbola distorsionada. Así que, después de averiguar eso - a través de los límites o lo que sea -, ¿cómo puedo encontrar lo que la gráfica de $g(x) = f(x)^2$ ¿parece?

Answer 1

Tenga en cuenta que $$f(x) = 1 + \frac{4}{x-2}$$ por lo que se trata de una hipérbola escalada y desplazada, como bien apuntas, con vértice en $(2,1)$ . Consulte el gráfico siguiente:

Al elevar la función al cuadrado, obtenemos $$g(x) = f(x)^2 = \left(1+\frac{4}{x-2}\right)^2$$ en un nivel muy alto se espera la asíntota vertical en $x=2$ para quedarse, y el trozo derecho de la hipérbola para no cambiar globalmente de comportamiento, pero la mitad inferior izquierda de la hipérbola debe "reflejarse sobre el $y$ -eje" (la reflexión no es exacta aquí ya que la forma cambiará, pero a alto nivel debería acercarse a $+\infty$ como $x \to 2^-$ .)

Tenga en cuenta que como $x \to -\infty$ , deberías tener $g(x) \to 1-$ (como $f(x) \to 1-$ allí, por lo que se espera que haya una curva tipo parábola de $1$ en $x\to-\infty$ y $+\infty$ en $x \to 2^-$ con un mínimo relativo en algún punto intermedio, que se puede encontrar resolviendo $$0 = g'(x) = 2f(x)f'(x) \iff f'(x) = 0 \quad \text{or} \quad f(x)=0$$

Efectivamente, aquí está el gráfico: