Aproximación de una curva con una parábola en un punto determinado

Question

Me pregunto si esa tarea es posible: tenemos una curva definida implícitamente con:

$x^4+y^3-xy-1=0\qquad(1)$

Quiero encontrar una parábola en forma general de:

$Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0$

... que se aproxima mejor a la curva en el punto $(1,1)$ .

Mi idea era tratar la ecuación $(1)$ como una función $F(x,y)$ y expandirlo en un polinomio de Taylor $W(x,y)$ de un grado 2:

$W(x,y)=F(1,1)+df(1,1)(x-1,y-1)+\frac{1}{2}d^2f(1,1)(x-1,y-1)$

...donde:

$d^nf(1,1)(x-x_0,y-y_0)=\sum\limits_{i=0}^{n}{n\choose i}\frac{\partial^nf}{\partial x^{n-i}\partial y^i}(x_0,y_0)\cdot(x-x_0)^{n-i}(y-y_0)^i$

Al final obtuve la siguiente fórmula para la "parábola":

$3(x-1)+2(y-1)+12(x-1)^2-2(x-1)(y-1)+6(y-1)^2=\\=6x^2-xy+3y^2-8x-3y+3$

Sin embargo, para mi sorpresa, resultó ser una elipse:

La pregunta es: ¿es la única respuesta válida (si es que es correcta)? ¿Puedo "explotar" esta elipse en una parábola que satisfaga mis necesidades? Y ya que estamos, una pregunta al margen: ¿y transformarla en una hipérbola, es posible?

Saludos

Answer 1

(editado el 5.6.2014): Si $F(x,y)=0$ representa una curva, entonces no es cierto que su aproximación de Taylor de segundo orden en $(a,b)$ es $dF(a,b)(x-a, y-b)+d^2 F(a,b)(x-a, y-b)=0$ . (Tenga en cuenta que si $d^2 F$ es definida positiva, siempre será una elipse).

Podrías calcular las derivadas de la función implícita $y(x)$ en un barrio de $(1,1)$ . Diferencie su ecuación original y obtendrá $4x^3+3y^2 y' - y - xy'=0$ , lo que implica $y'(1)=-3/2$ . Del mismo modo, se calcula $y''(1)$ y su parábola es entonces sólo $y=y(1)+(x-1) y'(1) + \frac{y''(1)}{2} (x-1)^2$ .

Sin embargo, si no le interesan las propiedades de la función $y(x)$ sino en algunas propiedades geométricas del propio conjunto cero, entonces deberías especificar más exactamente a qué te refieres con "mejor aproximación" y por qué tal cosa debería ser una parábola. Una posibilidad de aproximación podría ser la círculo osculante que es (entre otras propiedades) invariante frente a las transformaciones euclidianas de su curva.