Dejemos que $X = (X_1,X_2 \cdots X_n)$ sea un vector aleatorio en $R^n$ con coordenadas independientes $X_i$ que satisfagan $E[X_i^2]=1$ y $E[X_i^4] \leq K^4$ . Entonces demuestre que $$\operatorname{Var}(\| X\|_2) \leq CK^4$$ donde $C$ es una constante absoluta y $\| \ \|_2$ denota la norma euclidiana.
Aquí está mi intento:
$$\begin{align*} E(\|X\|_2^2 -n)^2 &= E[(\sum_{i=1}^n X_i^2)^2 ]-n^2 \\ &=E[\sum_{i=1}^n X_i^4]+E[\sum_{i<j}X_i^2X_j^2] -n^2 \\ &\leq nK^4 + 2{{n}\choose {2}}-n^2 \\ &\leq n(K^4-1) \\ & \leq nk^4 \end{align*}$$
desde $$ E(\|X\|_2^2 -n)^2 \leq nk^4 \rightarrow E\left(\frac{\|X\|_2^2}{n} -1\right)^2 \leq \frac{K^4}{n}$$
y como $$(\forall z \geq 0 \ \ |z-1|\leq |z^2-1|) \rightarrow E(\frac{\|X\|_2}{\sqrt n} -1)^2\leq E(\frac{\|X\|_2^2}{n} -1)^2 $$
así: $$E(\frac{\|X\|_2}{\sqrt n} -1)^2 \leq K^4/n \rightarrow E(\|X\|_2-\sqrt n)^2\leq K^4$$
por la desigualdad de Jensen: $$(E[\|X\|_2] - \sqrt n)^2 \leq K^4 $$
que es equivalente a $$ |E[\|X\|_2] - \sqrt n)| \leq K^2$$
entonces cuando estoy tratando de atar $Var(\| X\|_2)$ Me encuentro con algún problema :
$$\operatorname{Var}(\| X\|_2)=E[\|X\|_2^2] -(E[\|X\|_2])^2 \leq n- (K^2-\sqrt n)^2 \leq -K^4+2K^2\sqrt n$$ que no está ligado por la constante, ¿cómo puedo ligarlo?
