He oído que para algunas funciones $T$ si calculamos $\nabla \times (\nabla T )$ en $2$ -coordenadas polares, entonces obtenemos la función delta ¿Por qué obtenemos ese resultado?
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Sharkos
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Considere $T = \theta$ la coordenada polar angular. Esta se comporta mal en el origen, y no puede definirse de forma continua alrededor del origen (aunque $\nabla \theta$ puede ser), por lo que necesitaremos algunas ideas nuevas para dar sentido a $\nabla \times \nabla \theta$ . Intentémoslo.
Una cosa sensata que podríamos hacer es calcular la integral de área $$ I = \int_{S} {\rm d}^2x \ \nabla \times \nabla \theta$$ utilizando el Teorema de Stokes para convertirla en una integral de línea: $$ I = \int_{\partial S} {\rm d} {\bf l} \cdot \nabla \theta$$ Aquí, $\partial S$ es el límite de $S$ por lo que es un círculo si $S$ es un disco.
Ahora bien, esta es la integral de una derivada total a lo largo de una línea, y en general que acaba de evaluar a la diferencia de la función en los puntos inicial y final: $$ I = \theta[\mbox{end}] - \theta[\mbox{start}]$$ Pero los puntos inicial y final son los mismos, porque el límite es un bucle cerrado.
Supongamos que el área $S$ no incluyó el origen. Entonces $\theta$ es sólo una función continua suave. Por lo tanto, $I = 0$ .
Pero supongamos que incluya el origen. Ahora el bucle $\partial S$ ¡va alrededor del origen! Pero $\theta$ es discontinua a medida que se da la vuelta al círculo. En particular, es $2\pi$ más grande después de dar una vuelta al origen. Por lo tanto, $I = 2\pi$ .
Así, $$I = \begin{cases} 2\pi & \mbox{if $S$ contains $\bf 0$} \\ 0 & \mbox{otherwise} \end{cases}$$ y en consecuencia $$\nabla \times \nabla \theta = 2\pi \delta({\bf x})$$
Hay otras formas de pensar en este resultado, pero ésta es una de las más naturales.
Obsérvese que el argumento anterior muestra que esta situación se refiere intrínsecamente a funciones no monovaluadas, con cortes de rama . Esto está muy relacionado con el hecho de que la función de Green 2D habitual para el laplaciano es proporcional a $\log r$ pero $\log r$ no puede extenderse continuamente al plano complejo sin un corte de rama.
(De hecho, mira $\log (r e^{i\theta}) = \log r + i \theta$ . Esto demuestra que $\theta$ es el conjugado armónico de $\log r$ . Por eso aparece en la solución).
