En primer lugar, algo de terminología. A número en coma flotante (a veces llamado "float") es un objeto definido en informática. Es un tipo limitado de número racional que sólo puede representar un número finito de valores permitidos por la codificación particular de cualquier representación de punto flotante que se esté utilizando en ese momento.
Por ejemplo, $\sqrt[2]8 = 2.8284\ldots$ no es un "flotador". En lenguaje matemático, es un número real.
Aritméticamente, tomando un $n$ es la inversa de tomar una $n$ de la potencia. Eso significa que realizamos exactamente el mismo tipo de operaciones pero con una salida en lugar de una conocida entrada. Por ejemplo, para sacar la raíz cuadrada de $8$ necesitamos saber que existe un número real positivo $x$ tal que $$ x^2 = 8. $$
Para demostrar que tal número existe, se necesita una definición de los números reales, lo que creo que está fuera del alcance de esta pregunta. Sin embargo, dada una buena definición de "número real", es posible demostrar que dicho número $x$ existe. Llamamos a ese número $\sqrt[2]8.$
Del mismo modo, si queremos $\sqrt[5]{11},$ necesitamos un número real positivo $y$ tal que $$ y^5 = 11. $$ Sólo hay un número real positivo que resuelve esa ecuación, y uno de sus nombres es $\sqrt[5]{11}.$
Las potencias racionales de números reales positivos pueden calcularse tomando potencias enteras de raíces enteras (o raíces enteras de potencias enteras). En concreto, si $x$ es real y $m$ y $n$ enteros que no tienen un factor común mayor que $1$ y $n > 1,$ entonces $$ x^{m/n} = \left( \sqrt[n]x \right)^m = \sqrt[n]{x^m}. $$
Es convencional ampliar esto para cubrir algunos casos en los que $x$ es negativo. Un ejemplo de esta definición se cita en ¿Qué son las leyes de los exponentes racionales? En resumen, si $x$ es positivo y $n$ es impar, entonces encontramos que $$ \left(-\sqrt[n]x\right)^n = - \left(\sqrt[n]x\right)^n = -x, $$ y por lo tanto somos capaces de definir $$ \sqrt[n]{-x} = -\sqrt[n]x. $$
Esto no funciona cuando $n$ es par. Para definir $\sqrt[2]{-8}$ tenemos que definir el números complejos (utilizando símbolos como $i$ ), y para la ecuación $z^n = x$ (con $x$ conocido) generalmente hay entonces $n$ raíces distintas $z$ de los cuales podemos decidir seleccionar uno como valor de $\sqrt[n]x.$
Teniendo en cuenta sus ejemplos: \begin{align} \sqrt[2.2]{8} &= 8^{1/2.2} = 8^{5/11} = (\sqrt[11]8)^5,\\ \sqrt[2.4]{8} &= 8^{1/2.4} = 8^{5/12} = (\sqrt[12]8)^5,\\ \sqrt[2.6]{8} &= 8^{1/2.6} = 8^{5/13} = (\sqrt[13]8)^5,\\ \sqrt[2.8]{8} &= 8^{1/2.8} = 8^{5/14} = (\sqrt[14]8)^5. \end{align}
Si sustituimos $8$ por $-8$ podríamos escribir \begin{align} \sqrt[2.2]{-8} &= (-8)^{1/2.2} = (-8)^{5/11} = (\sqrt[11]{-8})^5 = -(\sqrt[11]{8})^5,\\ \sqrt[2.4]{-8} &= (-8)^{1/2.4} = (-8)^{5/12},\\ \sqrt[2.6]{-8} &= (-8)^{1/2.6} = (-8)^{5/13} = (\sqrt[13]{-8})^5 = -(\sqrt[13]{8})^5,\\ \sqrt[2.8]{-8} &= (-8)^{1/2.8} = (-8)^{5/14}, \end{align} pero para resolver los casos $\sqrt[2.4]{-8}$ y $\sqrt[2.8]{-8}$ necesitamos algún tipo de acuerdo sobre cómo tomar potencias racionales de un número negativo cuando la potencia no es un entero dividido por un entero impar. Una convención dice que $$ (-8)^{5/12} = \left(8\cos\pi + i8\sin\pi\right)^{5/12} = 8^{5/12}\cos\tfrac{5\pi}{12} + i8^{5/12}\sin\tfrac{5\pi}{12} $$ y $$ (-8)^{5/14} = \left(8\cos\pi + i8\sin\pi\right)^{5/14} = 8^{5/14}\cos\tfrac{5\pi}{14} + i8^{5/14}\sin\tfrac{5\pi}{14}. $$
Pero si vamos a hacer esto por $(-8)^{5/12}$ y $(-8)^{5/14},$ plantea la cuestión de por qué no aplicamos el mismo tipo de aritmética a $(-8)^{5/11}$ y $(-8)^{5/13}.$ Muchos autores evitan esta cuestión diciendo que simplemente no se puede tomar el $5/12$ o $5/14$ potencia de un número negativo.
Cuando el exponente $r$ es un número real, no necesariamente racional, si $x > 0$ podríamos definir $x^r$ como el menor número que es mayor que $x^p$ para cada número racional $p$ tal que $p < r,$ o el mayor número que sea menor que $x^q$ para cada número racional $q$ tal que $q > r.$ Otra alternativa es construir la función exponencial $\exp(x) = e^x$ y la función de logaritmo natural $\log(x),$ entonces defina $$ x^r = \exp(r \log(x)). $$
Las respuestas a ¿Qué hace $2^x$ realmente significa cuando $x$ no es un número entero? discutir estos dos enfoques, así como algunas otras ideas.
Aunque los números de punto flotante en un ordenador son en realidad números racionales, por lo que en teoría podríamos elevar un número a una potencia de punto flotante usando las técnicas que describí para potencias racionales, esto no es realmente un método práctico y las bibliotecas matemáticas de los ordenadores tienden a calcular $\exp(r \log(x))$ en su lugar. (Se implementaría $\exp$ y $\log$ funciones para otros fines de todos modos, por lo que es simplemente más fácil y más eficiente utilizar esas funciones para este propósito también).
Pero los últimos párrafos sólo se aplican a los números positivos $x.$ Cuando $x < 0,$ hay dos respuestas que uno suele encontrar a la cuestión de plantear $x$ a un poder irracional:
- No lo hagas.
- Generalizar a las potencias complejas de los números complejos.
La aproximación para las potencias complejas de los números complejos es similar a la fórmula $\exp(r \log(x)),$ pero no es tan sencillo. La dificultad radica en que hay muchos valores posibles de $\log(z)$ cuando $z$ es un número complejo. Por lo tanto, es necesario encontrar una regla para elegir un solo valor de $\ln(z)$ para cualquier número complejo $z.$ Si decimos $\operatorname{Log}(z)$ es el valor de $\log(z)$ seleccionado según la regla, entonces podemos escribir $$ z^r = \exp(r \operatorname{Log}(z)). $$
La "regla" normalmente implica algo llamado corte de rama, por ejemplo, como se discute en las respuestas a Determinación del logaritmo complejo y ¿Cómo se define formalmente la exponenciación compleja?
La forma en que intenté definir números como $(-8)^{5/12}$ anterior equivalía a un cierto tipo de corte de rama; usando tal corte de rama se podría definir una potencia real general de un número negativo de manera que (por ejemplo) $$ (-8)^r = \left(8\cos\pi + i8\sin\pi\right)^r = 8^r\cos(r\pi) + i8^r\sin(r\pi). $$
Esto lleva a la conclusión de que $$ (-8)^{1/3} = 8^{1/3}\cos\tfrac\pi3 + i8^{1/3}\sin\tfrac\pi3 = 1 + i\sqrt3. $$
Esto no se parece mucho a $-2,$ el resultado que nos hubiera gustado ver para $\sqrt[3]{-8},$ así que si realmente quieres definir potencias reales generales de números negativos puede que tengas que decidir que $\sqrt[3]x$ es una función diferente a $x^{1/3}$ después de todo, renunciando a la idea de que $\sqrt[r]x$ podría ser una función general de números reales $r$ y $x.$
Estas limitaciones se trasladan a la aritmética informática. En C++, por ejemplo, la función std::pow para potencias de números en coma flotante descarta tomar cualquier potencia no entera de un número negativo, por lo que no se puede utilizar std::pow para calcular $n$ raíces de números negativos. Pero hay otra función, std::cbrt que permite tomar raíces cúbicas de números negativos. Podrías extender esa idea a otras potencias enteras Impares con suficiente seguridad.
