Movimiento browniano en el semiplano superior

Question

Me preguntaba si hay una forma de calcular explícitamente la probabilidad de que el movimiento browniano se encuentre en dos tiempos consecutivos s,t en el semiplano superior. Así que quiero calcular $$\mathbb{P} (B_t>0, B_s>0)$$ si esto es analíticamente posible.

Incluso una expresión en términos de integrales sería útil.

Answer 1

Dejemos que $p_t(x,y)$ sea la función de densidad de transición browniana $\frac 1 {\sqrt{2\pi t}}e^{-(y-x)^2/2t}$ de modo que su propiedad de Markov es la siguiente $$\mathbb E(f(B_{s+h})\mid B_s) = \int f(y)p_h(B_s,y) \, dy.$$

Deseamos calcular $\mathbb P(B_t>0,B_s>0)$ . Para utilizar la propiedad de Markov en el último parágrafo, reescríbalo como $\mathbb E(1_{\{B_s>0, B_t>0\}}) = \mathbb E\,\mathbb E(1_{\{B_s>0, B_t>0\}}\mid B_s )$ y observe que puede ver $1_{\{B_s>0, B_t>0\}} = 1_{[0,\infty)\times[0,\infty)}(B_s,B_t)$ en función de $B_{s + h}$ con $h=t-s$ . Aplicando la propiedad a la expectativa condicional obtenemos

$$\mathbb P(B_t>0,B_s>0) = \mathbb E\,\int1_{[0,\infty)\times[0,\infty)}(B_s,y)p_{t-s}(B_s, y) \, dy.$$

La última expectativa puede calcularse directamente utilizando la ley de $B_s$ Es decir, $p_s(0,x)\, dx$ Así que finalmente $$\mathbb P(B_t>0,B_s>0) = \int_0^ \infty\int_0^\infty p_{t-s}(x, y) p_s(0,x)\, dy\, dx.$$