Isomorfismo entre Hom y producto tensorial

Question

Estoy buscando un isomorfismo explícito $Hom(V,V^*)\rightarrow V^*\otimes V^*$ donde $V$ es un espacio vectorial.

He pensado en ello:

$\phi\rightarrow ((u,v)\rightarrow \phi(u)(v))$

Pero no estoy seguro de que esto funcione.

¿Alguien tiene alguna sugerencia?

Answer 1

Normalmente lo pienso al revés, es decir, $$ V^{\star} \otimes W \to \hom(V, W), \qquad \varphi \otimes w \mapsto (v \mapsto \varphi(v) w). $$

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PS Estoy asumiendo $V, W$ sea de dimensión finita, véanse los comentarios más abajo.