Tengo una pregunta sobre una integral que parece un gran candidato para los residuos.
$\displaystyle \int_{0}^{\infty}\frac{\cos(x^{2})}{x^{4}+1}dx-\int_{0}^{\infty}\frac{\sin(x^{2})}{x^{4}+1}dx=\frac{\pi\sqrt(2)}{4e}$ .
Mi dificultad surge en saber cómo dar con el contorno adecuado para algo así.
¿Alguien conoce un buen método para evaluar la integral anterior utilizando la teoría de los residuos, o incluso métodos reales?
Toma el coseno.
Lo escribí como $\displaystyle\int_{C}\frac{e^{iz^{2}}}{z^{4}+1}dz$ .
Donde C es el contorno semicircular en el semiplano superior.
Los ceros del denominador son $\displaystyle e^{\frac{\pi i}{4}}, \;\ e^{\frac{3\pi i}{4}}, \;\ e^{\frac{5\pi i}{4}}, \;\ e^{\frac{7\pi i}{4}}$ . De los cuales los dos primeros se encuentran en el plano medio superior.
El residuo en $\displaystyle e^{\frac{\pi i}{4}}$ es $\frac{-\sqrt{2}}{8e}-\frac{\sqrt{2}i}{8e}$
El residuo en $\displaystyle e^{\frac{3\pi i}{4}}$ es $\frac{e\sqrt{2}}{8}-\frac{e\sqrt{2}i}{8}$
Resumiendo: $\displaystyle 2\pi i\left(\frac{-\sqrt{2}}{8e}-\frac{\sqrt{2}i}{8e}+\frac{e\sqrt{2}}{8}-\frac{e\sqrt{2}i}{8}\right)$
$\displaystyle =\frac{(e^{2}+1)\pi\sqrt{2}}{4e}+\frac{(e^{2}-1)\pi\sqrt{2}}{4e}\cdot i$
Pero, este no es el resultado correcto... numéricamente. Sin duda, no es tan sencillo porque he elegido un contorno incorrecto. Quizás debido al término tipo Fresnel en el numerador. ¿Puede alguien darme alguna idea sobre esto?.
Muchas gracias.
