Polilogaritmos y el álgebra de la baraja

Question

$1)$ Escriba $\text{Li}_2(1-\frac{1}{x})$ en términos de $\text{Li}_2(x)$ y logaritmos considerando su representación integral y los cambios de cambios de variables.

Intento: El di-log se define como $$\text{Li}_2(z) = \int_0^z \frac{dt}{t} \text{Li}_{1}(t) = -\int_0^z \frac{dt}{t} \text{log}(1-t) .$$ Estoy tratando de ver cómo empezar, podría establecer $z=1-1/x$ como un cambio de variables pero no estoy seguro si esto ayuda.

$2)$ Utiliza las identidades aleatorias para ampliar los productos

$A. G(a_1, a_2; z) G(a_3; z) $

Intento: El producto aleatorio es una combinación lineal de polilogos de peso $2+1$ en este caso que preserva el ordenamiento relativo de los índices $a_i$ en cada uno de los términos. Así que si lo entiendo bien, aquí simplemente tenemos $G(a_1, a_2,a_3;z) + G(a_1, a_3, a_2;z) + G(a_3, a_1,a_2;z)$ es decir, la única restricción es que $a_1$ está siempre a la izquierda de $a_2$ Es decir, preservar el orden. ¿Es eso cierto?

Answer 1

Sólo tenemos que probar las identidades $(4)$ y $(5)$ declaró aquí : $$ \text{Li}_2(1-z)+\text{Li}_2\left(1-\frac{1}{z}\right) = -\frac{1}{2}\log^2 z,\tag{4}$$ $$ \text{Li}_2(z)+\text{Li}_2(1-z)=\frac{\pi^2}{6}-\log z\, \log(1-z)\tag{5}$$ $(5)$ ya se ha demostrado en esta pregunta .

Para demostrar $(4)$ basta con observar que $\text{Li}_2(0)=0$ y: $$ \frac{\log z}{1-z}+\frac{\log z}{z^2-z}=-\frac{\log z}{z},$$ por lo que los valores en $z=1$ y las derivadas del LHS y RHS de $(4)$ partido.

Combinando $(4)$ y $(5)$ nos encontramos con que:

$$\text{Li}_2(z)-\text{Li}_2\left(1-\frac{1}{z}\right)=\frac{\pi^2}{6}-\log z\,\log(1-z)+\frac{1}{2}\log^2 z.$$