¿Son realmente completas las cifras reales?

Question

Cuando se inventaron/descubrieron los números irracionales, se dijo que la recta numérica estaba "completa". Antes de eso, estoy seguro de que todos pensaban que todos los números del mundo eran racionales y que su recta numérica también estaba "completa". (Y sabían que era denso también, lo que significa que entre cada racional $p$ y $q$ existe otro racional $r$ .)

Bueno, ¿qué nos hace estar tan seguros $\mathbb{R}$ ¿está completo? ¿El hecho de que todos los "agujeros" entre los números racionales se hayan rellenado? ¿Por qué no puede haber más agujeros en la línea real, agujeros que aún no hemos descubierto y que pueden rellenar otros tipos de números? ¿Cómo podemos estar tan seguros de que no hay más números entre los números reales?

Tal vez las soluciones a la hiperexponencial ( tetration ) ecuaciones como $x^{x^x}=2$ ? (Por desgracia, $x$ es probablemente real y probablemente irracional).

Por supuesto, los números complejos amplían los números reales, pero no de la misma manera que los reales ampliaron los racionales, que ampliaron los enteros, que ampliaron los naturales. En las tres primeras extensiones, todo se quedó en una dimensión. Para introducir los números complejos, tuvimos que añadir otra dimensión, y por supuesto con los cuaterniones, etc., tenemos que añadir más dimensiones.

Pero cuando se trata de una dimensión, ¿hemos terminado? ¿Estamos seguros de que hemos tenido en cuenta todo una vez construida la línea real? ¿No se nos ha escapado nada?

Ediciones, para los que preguntan:

La construcción de $\mathbb{R}$ no debería importar, pero la que conozco es la que utiliza las clases de equivalencia de las secuencias de Cauchy de los números racionales, así que vamos a utilizar esa.

La definición de "completo" que podría ser más fácil de seguir es la de propiedad del límite superior mínimo : "todo subconjunto no vacío de $\mathbb{R}$ que está acotado por encima tiene un límite superior mínimo". Equivalentemente, y mi definición más favorita, es la propiedad de intervalo anidado : "toda secuencia anidada de intervalos cerrados tiene una intersección no vacía", pero ésta podría ser más difícil de usar.

Answer 1

Un espacio métrico se llama completo si toda secuencia de Cauchy converge. Esta es una definición formal y, a grandes rasgos, significa que si nos "acercamos" a un punto de la recta real, hay un "número" al que nos estamos "acercando".

Sin embargo, esto no quiere decir que no podamos encontrar ecuaciones que no tengan solución. Por ejemplo $x^2 + 1 = 0$ tiene las soluciones $\pm i$ que es un número imaginario. Y de hecho podemos extender los números reales a los números complejos que tiene tal solución. Sin embargo, en términos de exhaustividad no añade nada porque no hay ninguna secuencia de números reales que se "acerque" a $i$ .

A continuación, algunos sistemas numéricos que pueden ser de su interés, pero de los que no sé mucho
http://en.wikipedia.org/wiki/Hyperreal_number
http://en.wikipedia.org/wiki/Surreal_number
Añaden números infinitesimales entre los números reales. Sin embargo, esto no contradice la completitud porque sólo necesitamos una secuencia de Cauchy que converja a algo, y los números reales proporcionan ese algo. Estos otros sistemas numéricos pueden proporcionar simplemente "algo más". Me imagino que ambos artículos serían una lectura interesante para ti.

Editar: Hay que tener cuidado al mezclar definiciones formales con definiciones intuitivas. La completitud no significa que no haya nada que añadir, es sólo una afirmación sobre la convergencia de las secuencias de Cauchy.

Answer 2

Sabemos que los números reales son realmente completos porque tenemos una definición de lo que significa precisamente completo y además tenemos una prueba de que los números reales satisfacen esa propiedad. Hay varias formas equivalentes de formular lo que significa la completitud. Una forma de definir la completitud es decir que toda secuencia de Cauchy converge. Otra es especificando el principio del mínimo límite superior, y otra es el principio del máximo límite inferior.

Los números reales se pueden construir de varias formas y para cualquier forma que se elija existe una prueba rigurosa de que los reales así construidos son completos.

Una forma intuitiva de pensar en las terminaciones (especialmente en la construcción de los reales mediante cortes Dedekind) es como un proceso de llenado de huecos. Esto es sólo una intuición, pero es fuerte y útil. Hay que tener en cuenta que los reales pueden, en cierto sentido, ser "completados" de nuevo rellenando agujeros. Esta vez los agujeros son realmente "pequeños" y el relleno se hace con infinitesimales. Una de las construcciones de este tipo de "completamiento" es mediante el uso de ultraproductos, lo que da lugar a los hiperreales ( http://en.wikipedia.org/wiki/Hyperreal_number ). Como no se trata de una terminación en el sentido actual de la palabra, este proceso se llama "ampliación". Es interesante observar que se puede empezar con los racionales, ampliarlos mediante una construcción de ultraproducto, y luego obtener los reales como cociente de un determinado subconjunto. Así, la terminación de los racionales, que da lugar a los reales, puede considerarse un subproducto del proceso de ampliación.

Answer 3

El números surrealistas son en cierto sentido una generalización de las secuencias de Cauchy que "completan" cualquier campo ordenado. Por ejemplo, tenemos el número surrealista $\{0.9, 0.99, 0.999, ... | 1\} = 1-\frac{1}{\omega}$ que está estrictamente entre $1$ y todo número real menor que $1$ .

Answer 4

Los números reales se utilizaron mucho tiempo antes de que se comprendieran plenamente.

No fue hasta el siglo XIX cuando los números reales se definieron y construyeron adecuadamente como la "terminación" de los números racionales.

Sin embargo, esta palabra "terminación" tiene un significado preciso, sólo intuitivamente significa "rellenar agujeros".

La verdadera definición es que todas las secuencias de Cauchy convergen en $\mathbb{R}$ mientras que en $\mathbb{Q}$ esto no siempre ocurre (hay secuencias de Cauchy racionales que convergen a números irracionales). Al inventar los números irracionales hacemos que toda secuencia de Cauchy converja a un límite.

La forma en que inventamos estos números a partir de los racionales puede verse realmente como una construcción algebraica.

Answer 5

Parece que deberías buscar los cortes Dedekind. Esto aborda una de las varias nociones de "Completitud" en los números reales. Básicamente, los cortes Dedekind definen los números reales como los espacios entre números racionales. Cualquier hueco entre otros dos huecos estaría asociado a otro número real, y por tanto no hay ninguno de estos "huecos" entre números reales. Esta es la primera noción de completitud, llamada Completitud de Dedekind. Luego está la completitud de Cauchy. Una secuencia $\{a_n\}_n=0^\infty$ es Cauchy si:

Para cada $\epsilon >0$ existe un $N$ tal que $m,n>N$ implica $|a_m-a_n|<\epsilon$

Un espacio métrico es Cauchy Completo si todas las secuencias de Cauchy son convergentes. Esto resulta ser cierto para los números reales. También existe un tercer tipo de completitud para los números reales. A menudo se denomina axioma de completitud. Afirma que si un conjunto $X\subset\mathbb{R}$ está acotado y no es vacío, entonces tiene un Límite Superior (nótese que esto también se llama la propiedad del Límite Superior). Aunque se trata de un axioma, los números reales no se parecerían en nada a lo que veías en la escuela primaria sin él. Ahora mismo, te estarás preguntando por qué los dos últimos ejemplos de Completitud se llaman Completos. Pues porque resulta que estas tres propiedades son equivalentes; cada una implica a las otras dos. Esta es una propiedad muy fuerte, y es difícil ver el Análisis Real, o incluso las matemáticas en general, sin esta Completitud de los reales.

En otro orden de cosas, parece que has insinuado una noción de completitud algebraica de un campo, que generalmente se llama solvencia. Esto no tiene nada que ver con la tetración en general, sino con las soluciones de cualquier número de ecuaciones existentes. Sin embargo, los números reales no son "completos" en este aspecto, incluso con polinomios. Es bien sabido que todos los polinomios son solubles en $\mathbb{C}$ . Sin embargo, esta propiedad, más que del Análisis Real, forma parte del Álgebra Abstracta, más concretamente de la Teoría de Campos. Por ejemplo, la ecuación $x^2+1=0$ no se puede resolver en $\mathbb{R}$ . Además, este ejemplo de "tetración" tampoco es generalmente solucionable; no hay soluciones para $x^x=0$ . Además, ni siquiera todas las ecuaciones son resolubles en $\mathbb{C}$ . Por ejemplo, es evidente que no hay solución para $\Re (z)=i$ .

Estas son algunas preguntas interesantes, y estoy encantado de ayudar. Espero que la longitud de esta respuesta no sea abrumadora. Mucha suerte en sus actividades matemáticas.