Dejemos que $G$ sea un grupo de Lie compacto que actúa efectivamente sobre un espacio simplemente conexo $X$ . Deje que Homeo $(X)$ sea el grupo de todos los homeomorfismos de $X$ con ella misma dada la topología abierta compacta.
¿Es la topología en $G$ la misma que la topología del subespacio que hereda de Homeo $(X)$ ? Si no es así, ¿es una topología más fina que la otra?
No sé muy bien por dónde empezar. Si puedo demostrar de alguna manera que $G$ está cerrado en Homeo $(X)$ entonces habré terminado. Pero no estoy seguro de cómo proceder (o incluso si es cierto).
Mi objetivo final es ver si $G$ es compacto como subespacio de Homeo $(X)$ . Así que aunque pueda demostrar que la topología del subespacio en $G$ está contenida en la topología de $G$ entonces es suficiente (tampoco estoy seguro de cómo probar esto). Sin embargo, me preguntaba si las dos topologías son iguales.
