¿Cómo definiría usted $>$ y $<$ en $\mathbb{C}$ ?

Question

¿Existe una forma de averiguar si los números complejos son mayores o menores que otro número complejo?

Para números como $i$ y $-i$ está claro que uno es más grande que el otro. Sin embargo, ¿qué pasa con números como $2+3i$ y $5+2i$ ?

Esto es lo que pienso. En los números reales, se mide el tamaño de los números con su magnitud y dirección. Si dos números reales apuntaban en la misma dirección, el que tenía mayor magnitud era más grande, y si dos números reales apuntaban en direcciones opuestas, el que tenía la dirección positiva era más grande.

Entonces, intenté lo mismo para los números complejos. Para un número complejo $a+bi$ las direcciones positivas son a lo largo del norte de $a$ y al este de $b$ ejes. Así que, $2+3i \gt -2-3i$ porque $2+3i$ va en ambas direcciones positivas, mientras que $-2-3i$ va en ambas direcciones negativas. También, $2+3i \gt -2+3i$ porque $2+3i$ va en ambas direcciones positivas, mientras que $-2-3i$ es positivo en una sola dirección. Hay que comparar números como $3-5i$ y $-3+6i$ utilizando sus magnitudes porque ambas van en sentido positivo y negativo.

Además, para los números que se encuentran en los propios ejes, no se pueden comparar a menos que estén en el mismo eje.

Esta es mi sugerencia, ¿se mantiene?

Answer 1

No está nada claro que uno de $\mathrm i$ o $-\mathrm i$ ¡es más grande que el otro! ¿Qué te hace pensar eso?

Es una pregunta retórica. Sé que lo piensas por el signo. Pero hay una gran diferencia entre los números imaginarios y los reales cuando se trata de signos: $-1$ se comporta de una manera claramente diferente a $1$ . Por ejemplo, si elevamos al cuadrado $1$ obtenemos el mismo número, pero si elevamos al cuadrado $-1$ obtenemos un número diferente. Así que si te doy un número misterioso que es $1$ o $-1$ puedes averiguar cuál es preguntándome cuál es su cuadrado. Si te devuelvo el mismo número es $1$ , de lo contrario es $-1$ . Esas cosas no sirven para diferenciar $\mathrm i$ de $-\mathrm i$ . Si te doy un número misterioso que es $\mathrm i$ o $-\mathrm i$ Siempre será un misterio cuál es, por mucho que se conozca su comportamiento. Por ejemplo, si se eleva al cuadrado el número misterioso, se garantiza que se obtendrá $-1$ No importa cuál de los dos sea. Si llevas el número misterioso a la potencia de $3$ obtendrás menos el número misterioso, sin importar cuál sea. En concreto, no hay ninguna manera algebraica (es decir, utilizando sólo la multiplicación y la suma) para decir la diferencia. Por esta razón, no hay forma algebraica de decir cuál de los dos debe ser mayor. Y al ordenar campos, siempre queremos poder hacerlo algebraicamente, ya que el álgebra es lo único que podemos hacer de forma nativa con los campos.

Answer 2

Puede definir $<$ (casi) como quieras.

Si quisiera dos podría definir $x < y$ si al deletrearlas en palabras inglesas $x$ aparece más abajo en el orden alfabético que $y$ .

así que $8 < 18 <805 < 85 < 82< 11< 10 < 3 < 0 < 0.5 < 0.7 < 0.6 < 0.1 < 0.2$ y así sucesivamente

Porque ocho < octavo < octavo < ochentaf < ochyt < el < te < thr < cero < punto cero f < punto cero se < punto cero si < punto cero o < punto cero t.

Aunque es un poco tonto.

Y podríamos definir un orden de comparación $a+bi$ a $c + di$ como $a+bi < c+di$ si $a < c$ o si $a=c$ y $b < d$ . Pero $a + bi = c+di$ si $a=c$ y $b=d$ . Y $a +bi > c+di$ si $a > c$ o si $a=c$ y $b > d$ .

Eso se llama el orden lexigráfico y parece bien por que en realidad es tonto también.

La cuestión es que si queremos definir una orden queremos que obedezca de determinadas maneras.

Una cosa que queremos es que si $a < b$ entonces $a+c < b+c$ para todos $c$

El orden lexigráfico sí lo hace, pero lo que tú, incorrectamente, afirmas que es el orden sobre los reales no lo hace.

Usted afirma, incorrectamente, $-5 > -2$ porque $|-5| > |-2|$ y $-5, -2$ ambos apuntan en la misma dirección. Si esto fuera cierto, nos gustaría $-5 + 10 > -2 + 10$ y eso significaría $5 > 8$ que no lo es.

También queremos que si $a < b$ y $m > 0$ entonces $am < bm$ .

Esto falla en el orden lexigráfico. $i = 0 + i > 0 + 0i = 0$ . así que $i*i$ debe ser mayor que $0*i = 0$ . pero $i*i=-1 < 0$ .

Y es por este requisito no podemos tener un orden razonable en el complejo. Eso simplemente no es posible.

Considera: ¿Es $0 < 1$ o es $0 > 1$ ?

Si $0 > 1$ entonces $0 + (-1) > 1 +(-1)$ y $-1 > 0$ . Por ello, $(-1)*(-1) > (-1)*0$ así que $1 > 0$ . Pero eso contradice lo que suponíamos. Así que no podemos tener $0 > 1$ por lo que debemos tener $0 < 1$ .

Y por ello $0 + (-1) < 1 + (-1)$ y $- 1 < 0$ .

[Nota, esto significa también que si $5 > 2$ el $5-5 > 2-5$ y $0 > -3$ y $0 + (-2) > -3+(-2)$ y así $-2 > -5$ . por eso su afirmación de que $-5 > -2$ estaba equivocado. Si apuntan en la dirección negativa el que tiene un más grande La magnitud debe ser menos que el de menor magnitud].

Vale, pero ¿qué pasa con $i$ . Es $i > 0$ . Si es así, entonces $i*i > 0*i$ y $-1 > 0$ . Pero acabamos de demostrar que teníamos que tener $-1 < 0$ .

Bien, entonces $i < 0$ . Pero eso significa $i + (-i) < 0 + (-i)$ así que $0 < -i$ . Así que $0*(-i) < (-i)(-i)$ . Así que $0 < (-i)^2 = (-1)^2(i)^2 = 1*(-1) = -1$ . Así que $0 < -1$ .... pero nosotros sólo dijo....

Así que es imposible.

Si queremos $a < b \implies a+c < b+c$ y también queremos $a<b; m > 1 \implies am < bm$ entonces es sólo no va a ser posible comparar dos números complejos. Sólo se puede no se haga.

Answer 3

Usted podría definir desigualdades para los números complejos. Por ejemplo, podríamos hacer la siguiente definición:

Decimos que $z$ es "mayor que $w$ si $|z|>|w|$ .

La única pregunta que queda es si esta definición es útil. Y la respuesta es: no. Los números reales son cerrado bajo la multiplicación y la adición; es decir, si $a$ y $b$ son positivos, entonces $a \cdot b$ es positivo, y $a + b$ es positivo. Resulta que estas dos propiedades son de crucial importancia para definir las desigualdades de manera significativa. Y ninguna de estas propiedades se mantiene para los números complejos, lo que significa que escribir $z>w$ no tiene mucho sentido.

Para explicar por qué el cierre bajo la suma y la multiplicación es relevante, primero debemos definir lo que realmente queremos decir con $a>b$ . Una forma habitual de hacerlo es dar por sentada la noción de número positivo. Denotemos la colección de números positivos como $\mathbf{P}$ . Una de las propiedades más importantes de $\mathbf{P}$ es la ley de la tricotomía:

Para cada número $x$ una y sólo una de las siguientes es válida:

• $x=0$ .
• $x$ está en la colección $\mathbf{P}$ .
• $-x$ está en la colección $\mathbf{P}$

Aunque esto puede parecer obvio, es necesario para las siguientes definiciones:

• $a>b$ si $a-b$ está en $\mathbf{P}$
• $a<b$ si $b>a$
• $a \geq b$ si $a>b$ o $a=b$
• $a \leq b$ si $b \geq a$

Si fuera posible que $x$ para estar en la colección $\mathbf{P}$ y $-x$ también esté en la colección, entonces podríamos tener $a>b$ y $b>a$ ¡! Por lo tanto, la ley de la tricotomía es necesaria si queremos mantener la cordura. Otra propiedad importante es el cierre bajo la multiplicación y la adición, como se ha mencionado anteriormente. Si los números reales no fuesen cerrados bajo la multiplicación, esto también causaría dolores de cabeza. Por ejemplo, no podríamos decir que si $a>0$ y $b>0$ entonces $ab>0$ .

Afortunadamente, los números reales contienen una colección $\mathbf{P}$ con todas estas propiedades, pero los números complejos no. Esto puede incluso demostrarse con bastante facilidad. Supongamos que los números complejos hizo satisfacen la ley de la tricotomía y el cierre bajo la multiplicación y la adición. Sea $x$ sea un número complejo arbitrario. Si $x$ es positivo, entonces $xx = x^2$ también sería positivo. Si $x$ es negativo, entonces $-x$ sería positivo, por lo que $(-x)(-x) = (-x)^2=x^2$ sería positivo. De ello se desprende que para todos los casos distintos de cero $x$ , $x^2$ es positivo. En particular, si $x=i$ entonces $x^2 = -1$ sería positivo. Pero $1=1^2$ también sería positivo. Esto viola la ley de la tricotomía: $1$ y $-1$ no puede ambos ser positivo.

Por lo tanto, la idea de positividad es incoherente para los números complejos, y también lo es la idea de desigualdades. Lo mejor que podemos hacer es decir que dos números complejos son iguales o desiguales.

Answer 4

Creo que para definir un orden en un campo, se necesitaría un cono positivo $\Bbb P$ en ese campo, comportándose como el conjunto de reales positivos dentro de $\Bbb R$ . Así que querrías, para los números complejos $z$ y $w$ El cumplimiento de las tres condiciones \begin{align} \Bbb P+(-\Bbb P)=\Bbb C\\ z,w\in\Bbb P&\Longrightarrow z+w\in\Bbb P\\ z,w\in\Bbb P&\Longrightarrow zw\in\Bbb P\,. \end{align} La primera condición significa que todo número complejo debe ser la suma de un número "positivo" y el negativo de algún número positivo. Creo que te convencerás, por más que lo intentes, de que con la primera condición en su lugar, la tercera condición es insatisfactible.

Answer 5

Todas las respuestas están muy bien y todo, pero realmente la cuestión es que el mayor que y el menor que no pueden existir dentro de los números complejos. En realidad es demostrable que tal comparación no existe de ninguna manera comparable a mayor que y menor que para los números reales.

Supongamos que $0 < i$ . Dado que cualquier número mayor que $0$ al cuadrado sigue siendo mayor que $0$ tenemos que $0 < -1$ . Esto es una contradicción. Por lo tanto, debe ser que $i < 0$ . Sin embargo, al restar $i$ de ambos lados da como resultado $0 < -i$ . Una vez más cuadrando obtenemos que $0 < -1$ , lo que también es una contradicción. Por lo tanto $i$ no es ni mayor ni menor que $0$ ni igual a $0$ .

Simplemente, los números complejos no satisfacen las reglas algebraicas que rigen $<$ . Por lo tanto, definir un concepto de menor que y mayor que no sería más que definir una función de dos entradas sobre los números complejos cuyo valor es verdadero o falso. No tendría sentido.

En mi opinión, los números complejos forman un plano complejo en lugar de una recta numérica real. Todo esto es sólo una manera de pensar en las cosas, por supuesto, pero tiene sentido a partir de esto que un plano no puede ser ordenado de una manera algebraica sin que sólo convirtiéndose en equivalente a los números reales. Los números reales son el penúltimo conjunto de números comparables. Están pensados para ser el conjunto de números más denso posible que obedece a las leyes de la comparación y la aritmética. Los números complejos son útiles e interesantes porque son un conjunto que rompe algunas de esas leyes. Y por eso no son comparables.

Lo más parecido es la comparación por valor absoluto, pero no es equivalente a la idea de comparación por número real. En realidad es una comparación de los resultados de calcular la norma de un número complejo.