Existencia de la derivada de la serie en $x = 0$

Question

Quiero determinar si la siguiente función es diferenciable para $x \in [0,\infty)$

$$F(x) = \sum_{j=0}^\infty \frac{e^{-jx}}{j^2 +1}$$

La serie es uniformemente convergente en $[0,\infty$ ) mediante la prueba M, ya que $\displaystyle \left|\frac{e^{-jx}}{j^2 +1} \right| < \frac{1}{j^2}$ y la serie de derivadas termales tiene convergencia uniforme en cualquier intervalo $[\alpha,\infty)$ desde $\displaystyle \left|\frac{je^{-jx}}{j^2 +1}\right|< \frac{e^{-\alpha j}}{j^2}.$ Esto demuestra que $F$ es diferenciable para cualquier punto $x \in (0,\infty)$ .

Sé que la serie de derivadas termales no converge para $x = 0$ por lo que la derivada $F'(0)$ puede no existir, pero me gustaría saber cómo mostrar esto directamente. Hay ejemplos en los que la derivada de una serie puede existir aunque no se pueda obtener por diferenciación término a término.

Answer 1

Escribimos el cociente de la diferencia

$$\frac{F(h)-F(0)}{h} = \frac{1}{h}\left(\sum_{j=0}^{\infty}\frac{e^{-jh}-1}{j^2+1}\right)$$

donde $h>0$ . Observe que $e^{-jh}-1\leq 0$ por cada $j$ y por lo tanto

$$\frac{F(h)-F(0)}{h}\leq \frac{1}{h}\left(\sum_{j=0}^{N}\frac{e^{-jh}-1}{j^2+1}\right).$$

Entonces

$$\limsup_{h\rightarrow0^+}\frac{F(h)-F(0)}{h}\leq \sum_{j=0}^{N}\left(\lim_{h\rightarrow 0^+}\frac{e^{-jh}-1}{h}\right)\frac{1}{j^2+1} = \sum_{j=0}^{N}\frac{-j}{j^2+1} = -\sum_{j=0}^{N}\frac{j}{j^2+1}.$$

Dado que el lado derecho tiende a $-\infty$ como $N\rightarrow \infty$ podemos concluir que el límite no existe.

Answer 2

Tenga en cuenta que $$ 1-e^{-jx}\ge\frac12\min(jx,1) $$

Por lo tanto, dejar que $x=1/n$ , $$ \begin{align} \frac1x\sum_{j=0}^\infty\frac{1-e^{-jx}}{j^2+1} &=\frac1x\sum_{j=0}^n\frac{1-e^{-jx}}{j^2+1}+\frac1x\sum_{j=n+1}^\infty\frac{1-e^{-jx}}{j^2+1}\\ &\ge\frac12\left(\sum_{j=0}^n\frac{j}{j^2+1}+n\sum_{j=n+1}^\infty\frac1{j^2+1}\right)\\[6pt] &\sim\frac12\log(n)+C+\frac1{8n^2}-\frac{19}{240n^4}+\frac{53}{504n^4} \end{align} $$ donde $C=0.45267484$ .

Así, la derivada en $0$ es $-\infty$ .

Answer 3

Enfoque alternativo: ya que $\frac{1}{j^2+1}=\int_{0}^{+\infty}\sin(z) e^{-jz}\,dz$ por el teorema de convergencia dominante

$$ F(x)=\sum_{j\geq 0}\frac{e^{-jx}}{j^2+1} = \int_{0}^{+\infty}\sin(z)\sum_{j\geq 0}e^{-j(x+z)}\,dz =\int_{0}^{+\infty}\frac{\sin(z)}{1-e^{-(x+z)}}\,dz$$ así como $$ \frac{d}{dx}F(x) = -\frac{1}{4}\int_{0}^{+\infty}\frac{\sin(z)}{\sinh^2\left(\frac{x+z}{2}\right)}\,dz $$ para cualquier $x>0$ . Si $x=0$ la función $\frac{\sin(z)}{\sinh^2\left(\frac{x+z}{2}\right)}$ tiene un polo simple en el origen, a partir del cual $$ \lim_{x\to 0^+} F'(x)=-\infty $$ fácilmente lo siguiente. $\lim_{x\to 0^+} F(x)=\sum_{j\geq 0}\frac{1}{j^2+1}=\frac{1+\pi\coth \pi}{2}$ es bien conocido desde los tiempos de Euler.