Prueba de la igualdad de la serie

Question

Cómo demostrar la igualdad : $$\sum_{n=0}^\infty x^n \frac{1+x^{2n+2}}{(1-x^{2n+2})^2} = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^n}{(1-x^{n+1})^2}, \: \forall x \in (-1, 1)$$

Alguna idea de cómo empezar.

Answer 1

Comienza con la identidad debida a Euler $$ \prod_{m=0}^\infty\frac{1}{1-x^{2m+1}}=\prod_{m=1}^\infty(1+x^m). $$ Tomando el logaritmo de ambos lados, luego expandiendo los logaritmos en series de potencias e invirtiendo el orden de la suma tenemos $$ \sum_{n=1}^\infty\frac{x^n}{n(1-x^{2n})}=\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n-1}x^n}{n(1-x^{n})}. $$ Ahora diferencie el término para obtener $$\sum_{n=1}^\infty x^{n-1} \frac{1+x^{2n}}{(1-x^{2n})^2} = \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1} \frac{x^{n-1}}{(1-x^{n})^2}, $$ lo que equivale a $$ \sum_{n=0}^\infty x^n \frac{1+x^{2n+2}}{(1-x^{2n+2})^2} = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^n}{(1-x^{n+1})^2}. $$