¿Por qué falla aquí la diferenciación implícita?

Question

Para diferenciar una función implícita $y(x)$ definido por una ecuación $R(x, y) = 0$ se puede diferenciar totalmente $R(x, y) = 0$ con respecto a $x$ y $y$ y luego resolver la ecuación lineal resultante para $\frac{dy}{dx}$ para obtener explícitamente la derivada en términos de $x$ y $y$ .

Considere el siguiente ejemplo: Sea $y(x)$ se define por la siguiente relación:

$$(x^2-y^2)^{1/2}+\arccos\frac{x}{y}=0. \,(y\neq 0.)$$

Claramente, la ecuación define $y$ en función de $x$ . De hecho, es fácil ver que $y=x$ . Sin embargo, cuando aplico el método de diferenciación implícita a $(x^2-y^2)^{1/2}+\arccos\frac{x}{y}=0$ No he conseguido el resultado deseado $\frac{dy}{dx}=1$ (ya que $y=x$ ). ¿Por qué falla aquí la diferenciación implícita?

Editar : No he hecho la diferenciación implícita a mano porque es demasiado tediosa; en su lugar he confiado el resultado en WolframAlpha :

Answer 1

Con un poco de trabajo, puedes demostrar que $R(x,y)$ sólo se define para $y=x$ y $y=-x$ excluyendo el punto $(0,0)$ . Por lo tanto, su función no satisface las condiciones del teorema de la función implícita, que establece que su función debe ser al menos continuamente diferenciable para aplicar el método de la diferenciación implícita.

Tenga en cuenta que podría ampliar su problema a los números complejos, en cuyo caso el dominio de aplicabilidad de $R(x,y)$ se ampliaría. Sin embargo, incluso en ese caso, seguiría sin ser todo el plano porque ninguna definición de la raíz cuadrada o del coseno inverso es analítica en todo el plano complejo. En particular, si se elige la más "natural" extensión al plano complejo del coseno inverso no está definida en los puntos de ramificación $-1$ y $1$ . Estos corresponden exactamente a los casos $y=x$ y $y=-x$ . En otras palabras, la diferenciación implícita ingenua tampoco funciona en ese caso. Por lo tanto, se necesitan extensiones analíticas de la raíz cuadrada y del coseno inverso que sean válidas en el caso $y=x$ . Pero, esas extensiones no se corresponderán con las definiciones que adoptó en el caso real.

Answer 2

Veamos. $$1/2(x^2-y^2)^{-1/2}(2x-2y\dfrac{\rm dy}{\rm dx})-1/\sqrt{1-(x/y)^2}(1/y-x/y^2\dfrac{\rm dy}{\rm dx})=0\implies \dfrac{\rm dy}{\rm dx}(y-x/y)/\sqrt{x^2-y^2}=-(x-1)/\sqrt{y^2-x^2}\implies\dfrac{\rm dy}{\rm dx}=y/x(x-1)$$ etc.

Parece que las posibilidades de que esto coincida con lo que "tú" tienes son, al menos, decentes. Aunque probablemente tenga un error por descuido (o dos) "ahí".

Dicho esto, y sin perjuicio de lo comentado en la otra respuesta, y observando también que la ecuación no es diferenciable, ya que se obtiene la división por cero o $i$ aparece, debo decir que no veo muy bien por qué es obvio que $y=x$ . Me refiero a que si conectas $y=x$ se obtiene una declaración verdadera. Pero, ¿y qué? ¿Qué pasa con la necesidad?

Answer 3

$ dR(x,y)=\dfrac{\partial R}{\partial y}dy+\dfrac{\partial R}{\partial x}dx=0 $

Desde $y(x)$ se deduce que $dy=\frac{dy}{dx}dx$

$dR(x,y)=\dfrac{\partial R}{\partial y}dy+\dfrac{\partial R}{\partial x}dx=\dfrac{\partial R}{\partial y}\dfrac{dy}{dx}dx+\dfrac{\partial R}{\partial x}dx=\big(\dfrac{\partial R}{\partial y}\dfrac{dy}{dx}+\dfrac{\partial R}{\partial x} \big)dx=0$

$\rightarrow \dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{\dfrac{\partial R}{\partial x}}{\dfrac{\partial R}{\partial y}}$

Si lo pruebas en Wolfram Alpha con

-d/dx(√(x^2-y^2)+arccos(x/y))/d/dy(√(x^2-y^2)+arccos(x/y))

proporciona la respuesta requerida