Orden de la función completa $f(z)=\sin(z)$

Question

Quiero encontrar el orden de toda la función $f(z)=\sin(z)$ . Tengo este resultado

Dejemos que $$f(z)=\sum_{n=0}^\infty a_n z^n$$ sea una función entera, no constante y de orden finito. Entonces, el orden viene dado por $$\lambda=\limsup_{n\to \infty} \frac{n\log n}{-\log|a_n|}.$$

He intentado aplicar este teorema anterior para obtener (utilizando la aproximación de Stirling) $$\lambda=\limsup_{n\to \infty} \frac{n\log n}{-\log|a_n|}= \limsup_{n\to \infty} \frac{n\log n}{(2n+1)\log(2n+1)-2n-1}=\frac{1}{2}.$$ Sin embargo, el resultado debería ser $1$ . Sospecho que no puedo utilizar este resultado porque $a_{2n}=0$ es este caso, y esto dará problemas en la expresión.

¿Cómo debo proceder?

Answer 1

En primer lugar, el orden de $\sin(z)$ es el mismo que el orden de $\frac{\sin(z)}{z}.$ Esto, a su vez, puede escribirse como

$$ \frac{\sin(z)}{z} = g(z^2),$$ para algunos enteros $g$ . Así, el orden de $\sin(z)$ es el doble de este $g$ . Pero, a partir de los coeficientes de Taylor de la función seno, sabemos que esta $g$ puede escribirse como $$ g(z) = \sum_{n=0}^{\infty} b_n z^n,$$ donde $b_n = \frac{(-1)^n}{(2n+1)!}.$ Ahora puedes utilizar tu resultado, junto con la fórmula de Stirling, para concluir.

P.D.: Fíjate también en que la forma en que has aplicado este resultado es ligeramente inexacta, debido a que la aproximación dada sólo es válida para $a_{2n}$ lo que implica que debe haber un $(2n)\log(2n)$ en el numerador en lugar de $n \log n.$