Si $u=\frac{1+\sqrt5}{2}$,$u^3=2+\sqrt5$, pero $u^2=\frac{3+\sqrt5}{2}$. ¿Qué es el grupo que mide el poder que hace que las unidades se ven bien?

Question

Para $A=\mathbb{Z}[x]/(f)$ con cociente de campo $K$ y el anillo de los enteros $B$, no $U(B)/U(A)$ tiene un nombre?

Por ejemplo, $u = \tfrac{1+\sqrt{5}}{2}$ es una unidad en $\mathbb{Q}[\sqrt{5}]$, pero ni $u$ ni $u^2$ ha entero coeficientes en base a $\{ 1, \sqrt{5} \}$. De curso $u^3$ tiene coeficientes enteros (spooky si no lo he probado!) y, de hecho, $u^n$ ha entero coeficientes de iff $0 \equiv n \mod 3$.

Para cuadrática campos con base $\{ 1, \sqrt{n} \}$ $n$ plaza libre, uno casi siempre ha $U(A) = U(B)$. Si no, entonces $[ U(B) : U(A) ] = 3$.

Eso es una locura, y debe tener un nombre. Por ejemplo, me gustaría saber si el siguiente es cierto, pero yo no sé ni lo que debe buscar:

Es $U(B)/U(A)$ siempre finito? [ donde $B$ es el anillo de enteros de un orden de $A$ en un número anillo ]

Answer 1

En general, si $A \subset B$ es una extensión de anillos, que yo llamaría $B^{\times}/A^{\times}$ la relativa unidad del grupo. (Probablemente no soy el único, pero yo no podía decir cómo se ha extendido este lo es). Me siento razonablemente seguro de que no hay terminología especializada en el caso de nonmaximal órdenes.

Para responder a su no-terminológica pregunta: sí, si $A \subset B$ son órdenes en el mismo número de campo, el grupo de $B^{\times}/A^{\times}$ es finito. Esto se deduce del hecho de que uno puede demostrar que la Unidad de Dirichlet Teorema igual de bien para un nonmaximal orden de $A$ en un campo de número de $K$: $A^{\times}$ es todavía finitely generado con la torsión de los subgrupos iguales a las raíces de la unidad en la $A$ y libre de rango igual a $r+s-1$ donde $r$ es el número de lugares reales y $s$ es el número de lugares complejos de $K$. Así tenemos finitely generado abelian grupos $A^{\times} \subset B^{\times}$ con la misma libertad de rango, por lo $B^{\times}/A^{\times}$ es finito.