¿Aritmética GF(113) con tablas?

Question

Necesito trabajar con el campo de Galois de la característica (primera) 113.

Me pregunto si es posible implementar la multiplicación y la división utilizando tablas log/antilog (como ya hago en diferentes instancias de GF(2^k)). He llegado a las siguientes tablas de búsqueda y búsqueda inversa de potencias, trabajando con el elemento primitivo 3.

Exp[113]=
{
  1,   3,   9,  27,  81,  17,  51,  40,   7,  21,  63,  76,   2,   6,  18,  54,
 49,  34, 102,  80,  14,  42,  13,  39,   4,  12,  36, 108,  98,  68,  91,  47,
 28,  84,  26,  78,   8,  24,  72, 103,  83,  23,  69,  94,  56,  55,  52,  43,
 16,  48,  31,  93,  53,  46,  25,  75, 112, 110, 104,  86,  32,  96,  62,  73,
106,  92,  50,  37, 111, 107,  95,  59,  64,  79,  11,  33,  99,  71, 100,  74,
109, 101,  77,   5,  15,  45,  22,  66,  85,  29,  87,  35, 105,  89,  41,  10,
 30,  90,  44,  19,  57,  58,  61,  70,  97,  65,  82,  20,  60,  67,  88,  38,
  1 }

Log[113]=
{
  -,   0,  12,   1,  24,  83,  13,   8,  36,   2,  95,  74,  25,  22,  20,  84,
 48,   5,  14,  99, 107,   9,  86,  41,  37,  54,  34,   3,  32,  89,  96,  50,
 60,  75,  17,  91,  26,  67, 111,  23,   7,  94,  21,  47,  98,  85,  53,  31,
 49,  16,  66,   6,  46,  52,  15,  45,  44, 100, 101,  71, 108, 102,  62,  10,
 72, 105,  87, 109,  29,  42, 103,  77,  38,  63,  79,  55,  11,  82,  35,  73,
 19,   4, 106,  40,  33,  88,  59,  90, 110,  93,  97,  30,  65,  51,  43,  70,
 61, 104,  28,  76,  78,  81,  18,  39,  58,  92,  64,  69,  27,  80,  57,  68,
 56 }

En algunos casos, como 24 * 32 = Exp(Log(24) + Log(32)) = Exp(37 + 60) = 90 funciona. En otros, como 104 * 92 = Exp(58 + 65) = Exp(10) = 63 (en lugar de 76 ), falla.

¿Qué estoy haciendo mal?

Answer 1

El error aquí está en el $\operatorname{Exp}(58 + 65) = \operatorname{Exp}(10)$ ya que esto corresponde a la reducción de un exponente mod $113$ . Pero como estamos trabajando con un $112$ raíz de la unidad, lo que podemos hacer es reducir el exponente mod $112$ que da precisamente lo que debe dar.