Consideremos el movimiento browniano estándar $(W_{t})$ se sabe que $W$ es un proceso de Markov homogéneo y, por tanto, tiene sentido considerar si $W$ tiene la propiedad de Feller.
Dejemos que $f$ sea una función continua acotada, para demostrar $W$ es Feller, necesitamos mostrar los semigrupos $$p^{t}f(x_{1})-p^{t}f(x_{2})\longrightarrow 0\ \ \text{as}\ \ x_{1}\longrightarrow x_{2}.$$
Por definición tenemos \begin{align*} p^{t}f(x_{1})-p^{t}f(x_{2})&=\mathbb{E}[f(W_{t})|W_{0}=x_{1}]-\mathbb{E}[f(W_{t})|W_{0}=x_{2}]\\ &=\int_{\mathbb{R}}\mathbb{P}(t, x_{1}, dy)f(y)+\int_{\mathbb{R}}\mathbb{P}(t, x_{2}, dy)f(y). \end{align*} Pero conocemos la fórmula de la probabilidad de transición del proceso de Wiener: $$\mathbb{P}(t, x, \Gamma)=\int_{\Gamma}\dfrac{1}{\sqrt{2\pi t}}e^{\frac{-(y-x)^{2}}{2t}}dy,$$ por lo que la densidad debe ser $$\mathbb{P}(t, x, dy)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi t}}e^{\frac{-(y-x)^{2}}{2t}}dy.$$
Esto implica que $$\int_{\mathbb{R}}\mathbb{P}(t, x, dy)f(y)=\int_{\mathbb{R}}\dfrac{1}{\sqrt{2\pi t}}e^{\frac{-(y-x)^{2}}{2t}}f(y)dy,$$ y un cambio de variable $\tilde{y}+x:=y$ nos da $$\int_{\mathbb{R}}\dfrac{1}{\sqrt{2\pi t}}e^{\frac{-(y-x)^{2}}{2t}}f(y)dy=\int_{\mathbb{R}}\dfrac{1}{\sqrt{2\pi t}}e^{\frac{-\tilde{y}^{2}}{2t}}f(\tilde{y}+x)=\mathbb{E}(f(W_{t}+x)).$$
Por lo tanto, \begin{align*} p^{t}f(x_{1})-p^{t}f(x_{2})&=\mathbb{E}(f(W_{t}+x_{1}))-\mathbb{E}(f(W_{t}+x_{2}))\\ &=\mathbb{E}\Big(f(W_{t}+x_{1})-f(W_{t}+x_{2})\Big). \end{align*}
¿Qué debo hacer ahora? ¿Puedo concluir directamente como $x_{1}\rightarrow x_{2}$ , $$\mathbb{E}\Big(f(W_{t}+x_{1})-f(W_{t}+x_{2})\Big)\longrightarrow 0?$$
Gracias.
