Combinación de dos inecuaciones

Question

Dado $c \in \mathbb{R}$ y $m,n \in \mathbb{N}$ ¿es posible combinar las inecuaciones

• $n < m$
• $\frac{8}{c} < m$

en una inecuación?

Yo argumenté que debido $n < m$ y $\frac{8}{c} < m$ Tiene que haber uno $n$ entre $m$ y $\frac{8}{c}$ , siendo $n = \left\lceil \frac{8}{c} \right\rceil$ para que $m > n > \frac{8}{c}$ pero no estoy seguro de que sea correcto.

Contexto

$\forall c \in R^{+} \exists n \in \mathbb{N}: \forall m \in \mathbb{N} \land m > n: |f(m)|< c*|g(m)) \implies f \in \mathcal{o}(g)$

Por lo tanto, se trata de la anotación de landau de $f(x)$ sube más despacio que $g(x)$ La tarea consiste en demostrar que un caso concreto ( $f(x) = 8x$ y $g(x) = x^2$ ) se ajusta a esta definición.

Nota: Ya lo he resuelto hasta que me encuentro con las dos inecuaciones juntas y quiero demostrar que hay una $n$ para todos los casos.

Answer 1

No. ¿Qué pasa si $m=2$ , $c=7$ ?

Realmente no hay manera de saber cuál es la relación entre $n$ y $8/c$ es sin información adicional.

Además, la tarea de encontrar un $n$ que satisface ciertas propiedades es muy diferente de la tarea de determinar si $n$ satisface ciertas propiedades. (Es la diferencia entre "existe" y "para todos").

Editar RE: Sus ediciones:

Si te he entendido bien, lo que realmente necesitas es encontrar un $n$ tal que $n<m \Rightarrow \frac8c<m$ . Entonces $n = \lfloor \frac8c \rfloor$ debería satisfacer eso.

Answer 2

Por lo tanto, es necesario demostrar que para cada $c>0 \in \mathbb{R}$ existe $n \in \mathbb{R}^+$ tal que $|f(x)|<c|g(x)|$ para todos $x>n$ . Dada una $c>0$ , dejemos que $n=\frac{8}{c}$ .

Entonces... $x>n \implies |f(x)|<c|g(x)|$