Dados de 4 caras: ¿lógica defectuosa?

Question

Si tuviéramos un dado de 4 caras (números 1,2,3,4 en las caras) y lo lanzáramos 6 veces y anotáramos los resultados. ¿Cuál sería la probabilidad de que saliera el mismo número 3 o más veces? (Por ejemplo, si tiramos 1,1,1,4,3,2 o 1,1,1,4,4, etc.). Necesito evitar el problema de contar algunos resultados dos veces. Por ejemplo, si saco 1,2,1,2,1,2 quiero contar esto sólo una vez, no dos veces.

Mi intento de solución fue el siguiente.
Probabilidad de obtener exactamente 3 del mismo número $${6 \choose 3}×(4/4×1/4×1/4×1/4×3/4×3/4×3/4) = .5273$$ Probabilidad de obtener exactamente 4 del mismo número $${6 \choose 4}×(4/4×1/4×1/4×1/4×1/4×3/4×3/4) = .1319$$ Probabilidad de obtener exactamente 5 del mismo número $${6 \choose 5}×(4/4×1/4×1/4×1/4×1/4×1/4×3/4) = .0176$$ Probabilidad de obtener exactamente 6 del mismo número $${6 \choose 6}×(4/4×1/4×1/4×1/4×1/4×1/4×1/4) = .0010$$

Como hemos encontrado las probabilidades individuales de cada número exactamente, podemos sumarlo para encontrar la probabilidad de "al menos". Lo que obtenemos es 0,6778.

Sin embargo, la respuesta, tal y como he averiguado a través de los programas informáticos, está más cerca de 0,648. No estoy seguro de dónde me equivoqué en mi lógica.

Answer 1

Suponiendo que los dados utilizados sean feria , un replanteamiento de la pregunta es "¿Cuál es la probabilidad opuesta de que una secuencia cuaternaria de longitud 6 no tenga ningún dígito repetido 3 o más veces?"

Para ello, cuente cuántas secuencias cuaternarias de longitud 6 no tienen ningún dígito repetido 3 o más veces.

Por el principio de encasillamiento, habrá exactamente dos dígitos que aparezcan dos veces, y exactamente dos dígitos que aparezcan una vez, o habrá tres dígitos que aparezcan dos veces cada uno. (Por ejemplo, 112234 para la primera hipótesis o 112233 para la segunda).

¿Cuántas secuencias del primer tipo?

• Elige los dos números duplicados: $\binom{4}{2}$ (esto fuerza la selección de los números no duplicados)
• Escoge la ubicación del mayor de los números duplicados: $\binom{6}{2}$
• Escoge la ubicación del menor de los números duplicados: $\binom{4}{2}$
• Elija la ubicación del mayor de los números no duplicados: $\binom{2}{1}$ (el número final va en la única ranura que queda)

Para un total de $\binom{4}{2}\binom{6}{2}\binom{4}{2}\binom{2}{1} = 1080$ secuencias del primer tipo.

¿Cuántas secuencias del segundo tipo?

• Elige los tres números duplicados: $\binom{4}{3}$
• Elige las ubicaciones de los números más grandes: $\binom{6}{2}$
• Elige las ubicaciones de la segunda mayor: $\binom{4}{2}$ (esto fuerza la localización de los números restantes)

Para un total de $\binom{4}{3}\binom{6}{2}\binom{4}{2} = 360$ secuencias del segundo tipo.

¿Cuántas secuencias cuaternarias en total?

$4^6 = 4096$

La probabilidad de que no se repita un dígito al menos tres veces es entonces: $\frac{1080+360}{4096} = \frac{45}{128}\approx \%35.16$

Y así la probabilidad de que un dígito se repita al menos tres veces es: $\frac{83}{128}\approx \%64.84$

Answer 2

¿Está contando dos veces el tema que ha sacado a relucir? (Contando 1,2,1,2,1,2 dos veces)

¿De cuántas maneras puede ocurrir eso? ${4\choose2}=6$ formas de elegir los dos números. $\frac{6!}{3!3!}=20$ formas en que los dos números se pueden organizar. Así que es $\frac{120}{4^6}$ que fue contada dos veces. Si se resta eso de la respuesta, parece que se acerca al resultado simulado.