Problema de las matrices invertibles

Question

Dejemos que $A\in M_{mn}(\mathbb{k}),B\in M_{nm}(\mathbb{k})$ . Demostrar que $I_m-AB$ es invertible si $I_n-BA$ es invertible.

Mis pensamientos:

Sé que si $A$ y $B$ son matrices de orden $m$ por $n$ y $n$ por $m$ respectivamente, donde $m\leq n$ entonces $|AB-cI_m|=c^{n-m}|BA-cI_n|$ . A partir de esto si $I_m-AB$ es invertible entonces $1$ no es un valor propio de $AB$ Por lo tanto $I_n-BA$ también es invertible.

Answer 1

Si $I-AB$ no es invertible, entonces 1 es un valor propio de $AB$ ,

así que $ABx=x$ para algunos $x\ne 0$ .

Entonces $BA(Bx)=Bx$ con $Bx\ne 0$ ya que de lo contrario $x=0$ Así que

1 es un valor propio de $BA$ y por lo tanto $I-BA$ no es invertible.

Ya que podemos intercambiar los papeles de A y B,

conseguimos que $I-AB$ es invertible si $I-BA$ es invertible.