Límites para $(10 \uparrow \uparrow 257) \uparrow \uparrow \uparrow (10 \uparrow \uparrow 257)$

Question

Un límite inferior de 2[6] (Steinhaus-Moser-Notation) es

$$ M:= (10 \uparrow \uparrow 257) \uparrow \uparrow \uparrow (10 \uparrow \uparrow 257)$$

Me gustaría ligar M de la siguiente manera :

$$10 \uparrow^a b < M < 10\uparrow ^a (b+1)$$

¿Qué opción de a y b hace el trabajo?

También me conformaría con ligar M con cadenas de conway que sólo se diferencien en el último número como

$$a\rightarrow b\rightarrow c\rightarrow d < M < a\rightarrow b \rightarrow c \rightarrow (d+1)$$

¿Alguna idea?

Answer 1

Los límites que se adhieren estrictamente a sus condiciones no serían muy ajustados: $$10↑↑↑↑2<M<10↑↑↑↑3$$

Un mejor par de límites sería:

$$10↑↑↑(10↑↑257)<M<10↑↑↑(10↑↑258)$$

He aquí una prueba de la segunda afirmación:

$1.$ Probar el límite inferior es trivial:

$$(10↑↑257)>10 ⇒ (10↑↑257)↑↑↑(10↑↑257)>10↑↑↑(10↑↑257)$$

$2.$ El límite superior se puede demostrar utilizando la inducción dos veces:

LEMA 1: Para todo número natural $n$ se cumple lo siguiente: $$(10↑↑257)↑↑n<10↑↑(257+2n)$$

PRUEBA:

Para $n=1$ nos encontramos con que:

$$10↑↑257<10↑↑259$$

Lo cual es obviamente cierto.

Ahora suponemos que el lema es verdadero para algún $n=k$ y demostramos que la desigualdad se cumple para $k+1$ también:

Paso 1 (utilizando la definición recursiva de las flechas ascendentes de Knuth): $$(10↑↑257)↑↑(k+1)=(10↑↑257)↑[(10↑↑257)↑↑k]$$
Paso 2 (utilizando el supuesto de inducción): $$(10↑↑257)↑[(10↑↑257)↑↑k]<(10↑↑257)↑[10↑↑(257+2k)]$$
Paso 3 (utilizando la definición recursiva de las flechas ascendentes de Knuth): $$(10↑↑257)↑[10↑↑(257+2k)]=[10↑(10↑↑256)]↑[10↑↑(257+2k)]$$
Paso 4 (sustituir cada instancia de "↑" por la notación exponencial ordinaria): $$[10↑(10↑↑256)]↑[10↑↑(257+2k)]=(10^{10↑↑256}\space)^{10↑↑(257+2k)}=10^{(10↑↑256)\times[10↑↑(257+2k)]}$$
Paso 5:

Es fácil ver que $(10↑↑256)\times[10↑↑(257+2k)]$ es mucho menor que $10↑↑(257+2k+1)$ . Por lo tanto: $$10^{(10↑↑256)\times[10↑↑(257+2k)]}<10^{10↑↑(257+2k+1)}=10↑↑(257+2k+2)=10↑↑[257+2(k+1)]$$

$$QED$$

LEMA 2: Para todo número natural $n$ se cumple lo siguiente: $$(10↑↑257)↑↑↑n<10↑↑↑(1+2n)$$

PRUEBA: (bastante similar a la prueba del lema 1)

Para $n=1$ nos encontramos con que:

$$10↑↑257<10↑↑(10↑↑10)=10↑↑↑3=10↑↑↑(1+2\times1)$$

Lo cual es obviamente cierto.

Ahora suponemos que el lema es verdadero para algún $n=k$ y demostramos que la desigualdad se cumple para $k+1$ también:

Paso 1 (utilizando la definición recursiva de las flechas ascendentes de Knuth): $$(10↑↑257)↑↑↑(k+1)=(10↑↑257)↑↑[(10↑↑257)↑↑↑k]$$
Paso 2 (utilizando el supuesto de inducción): $$(10↑↑257)↑↑[(10↑↑257)↑↑↑k]<(10↑↑257)↑↑[10↑↑↑(1+2k)]$$
Paso 3 (utilizando el lema 1): $$(10↑↑257)↑↑[10↑↑↑(1+2k)]<10↑↑[257+2\times(10↑↑↑(1+2k))]$$
Paso 4:

Es fácil ver que $257+2\times(10↑↑↑(1+2k))$ es mucho menor que $10↑↑↑(2+2k)$ . Por lo tanto: $$10↑↑[257+2\times(10↑↑↑(1+2k))]<10↑↑[10↑↑↑(2+2k)]=10↑↑↑(3+2k)$$

$$QED$$

Ahora, utilizando el lema 2 sobre $n=10↑↑257$ nos encontramos con que:

$$M=(10↑↑257)↑↑↑(10↑↑257)<10↑↑↑[1+2\times(10↑↑257)]<10↑↑↑(10↑↑258)$$

En conclusión:

$$10↑↑↑↑2<10↑↑↑(10↑↑257)<M<10↑↑↑(10↑↑258)<10↑↑↑↑3$$

Por cierto, el valor real de $2[6]$ también está entre estos dos límites:

$$2[6]≈10↑↑↑Mega≈10↑↑↑(10↑)^{257}2.79$$ (donde $(10↑)^{257}2.79$ es una torre de energía de $257$ y un exponente superior de $2.79$ )