Aceleración de una partícula descrita mediante ecuaciones paramétricas

Question

Actualmente soy un estudiante en una clase de cálculo AP BC en línea, y estoy teniendo un pequeño problema con una pregunta sobre derivadas y ecuaciones paramétricas.

De todos modos, el problema está escrito de la siguiente manera: "La posición de un objeto se describe mediante las ecuaciones paramétricas $x=\ln t$ y $y=5t^2$ . ¿Cuál es la aceleración del objeto en $m/sec^2$ cuando $t=2$ ?"

Me he estado preguntando todo el tiempo qué debería estar calculando - mi hermana dice que debería estar calculando $\frac{d^2y}{dx^2}$ pero personalmente creo que debería estar calculando $\sqrt{\frac{d^2y}{dt^2}+\frac{d^2x}{dt^2}}$ para t=2 - Estoy un poco confundido, porque pensé que la aceleración también tenía dirección, lo que significa que un solo escalar no describiría con precisión la aceleración de una partícula con movimiento descrito en los ejes x e y?

Gracias.

Corrección: $\sqrt{\frac{d^2y}{dt^2}+\frac{d^2x}{dt^2}}$ debe ser $\sqrt{(\frac{d^2y}{dt^2})^2+(\frac{d^2x}{dt^2})^2}$

EDIT: Tras el envío y los comentarios parece que he entendido mal el problema. La respuesta y la explicación dadas son las siguientes: "Sabemos que dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt). x=lnt, por tanto dx/dt=1/t*y=5t^2, por tanto dy/dt=10t. Entonces, dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)=(10t)/(1/t)=10t^2 y a=d^2y/dx^2=(d/dx(dy/dx))/(dx/dt)=(20/t)/1/t)=20t^2. Entonces, cuando t=2, a=20(2)^2=80m/seg^2".

No estoy de acuerdo con esta respuesta, que supone que a=d^2y/dx^2. En ese momento estábamos aprendiendo sobre la diferenciación paramétrica - supongo que debería haber sabido mejor, pero algo me molestó sobre la intuición de lo que representa d^2y/dx^2. He hablado un poco con mi profesora sobre el problema, pero supongo que debería llamarla para entender mejor lo que intenta decir.

En resumen, ¿a=d^2y/dx^2, o a=sqrt((d^2y/dt^2)^2+(d^2x/dt^2))? Y si a no es igual a d^2y/dx^2, ¿cómo debo explicárselo a mi profesor? Gracias.

Answer 1

Tienes razón en todo.

La aceleración es efectivamente un vector: $\vec a = \left(\frac{d^2x}{dt^2},\frac{d^2y}{dt^2}\right)$ . Pero si sólo nos importa el magnitud de la aceleración, entonces tomamos la magnitud del vector, lo que da su expresión con la raíz cuadrada.

Edición: Como Matt señaló más abajo, su expresión para $||\vec a||$ tal y como está, no es del todo correcto, pero supongo que se trata de un error tipográfico.

Answer 2

Casi correcto :) Como dijo Rhys, $\vec{a} = (\frac{d^2x}{dt^2}, \frac{d^2y}{dt^2})$ pero para conseguir la magnitud que quieres $\| \vec{a} \| = \sqrt{(\frac{d^2x}{dt^2})^2 + (\frac{d^2y}{dt^2})^2}$ que se quiere evaluar para $t=2$ .

Answer 3

Como ha explicado Rhys, su respuesta es correcta. Ahora, ¿por qué la alternativa $\frac{d^2y}{dx^2}$ ¿No es así? Lo primero que hay que mirar es la dimensión de las fórmulas: $d^2y$ está en $\mathrm{meter}$ . $dx^2$ está en $\mathrm{meter}^2$ Así que $\frac{d^2y}{dx^2}$ está en $\frac{1}{\mathrm{meter}}$ que obviamente no es la dimensión de una aceleración.

De hecho, las fórmulas $\frac{d^2y}{dx^2}$ proviene de una confusión sobre las ecuaciones paramétricas y las funciones clásicas. Esta fórmula le daría una aceleración si la trayectoria de su objeto fuera una sola línea y la función $y = f(x)$ representan la posición de su objeto en esta línea. Pero en ese caso, $x$ sería un tiempo (por ejemplo en segundos).

Si se quiere dar una interpretación a la fórmula $\frac{d^2y}{dx^2}$ , primero interpreta la fórmula $\frac{dy}{dx}$ que es igual a $\tan(\alpha)$ donde $\alpha$ es el ángulo del vector velocidad con la abscisa.

Pero: $$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}.\frac{dy}{dx}$$

Así que tenemos: $$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}\cdot\tan(\alpha)$$

$\frac{d^2y}{dx^2}$ puede interpretarse como la variación de la dirección del vector velocidad cuando $x$ cambios. Sin embargo, en un contexto de ecuaciones paramétricas, debe evitar tratar de interpretar la variación de un solo parámetro porque es probable que entre en casos complicados (por ejemplo, $tan(\alpha)$ puede tener dos valores diferentes para un mismo $x$ valor. Esto se debe a que $\tan(\alpha)$ no es sólo una función de $x$ sino también de $y$ .)

Answer 4

$\frac{dx}{dt}=\frac1t$ y $\frac{dy}{dt}=10t$ .

$\therefore \frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}$ .

Ahora $\frac{d^2y}{dx^2}=\frac d{dx}\big(\frac{dy}{dx}\big)=\frac d{dt} \big(\frac{dy}{dx}\big)*\frac{dt}{dx}$ porque $\frac{dy}{dx}$ es una función de $t$ .