Si $a\in R$ y la ecuación $-3(x-\lfloor x \rfloor)^2+2(x-\lfloor x \rfloor)+a^2=0$ no tiene solución integral, entonces todos los valores posibles de $a$

Question

Si $a\in R$ y la ecuación $-3(x-\lfloor x \rfloor)^2+2(x-\lfloor x \rfloor)+a^2=0$ no tiene solución integral, entonces todos los valores posibles de $a$ se encuentran en el intervalo

$(A)(-1,0)\cup(0,1)$
$(B)(1,2)$
$(C)(-2,-1)$
$(D)(-\infty,-2)\cup(2,\infty)$

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Mi intento:
Dejemos que $x-\lfloor x \rfloor = \{x\}= t$ , donde $ 0 \leq \{x\}<1\Rightarrow 0\leq t<1$ . Entonces

$$\Rightarrow -3t^2+2t+a^2 = 0\Rightarrow 3t^2-2t-a^2 = 0$$

$$\displaystyle \Rightarrow t = \frac{2\pm \sqrt{4+12a^2}}{6} = \frac{1\pm \sqrt{1+3a^2}}{3}$$

No sé cómo resolver más.

Answer 1

En primer lugar veamos para qué valores de $a$ allí será soluciones:

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Desde $\,0\leq t = \left\lfloor x \right\rfloor<1\,$ tenemos

\begin{align} t &= \dfrac{1\pm \sqrt{1+3a^2}}{3} \in \left[0,1\right) &\implies&& 0\le1\pm\sqrt{1+3a^2} < 3 \\ &\big(\text{subtract } 1 \text{ from each inequality}\big) &\implies&& -1\le\pm\sqrt{1+3a^2} < 2 \end{align} Consideremos ahora dos casos por separado:

1. $\,-1\le + \sqrt{1+3a^2} < 2\,$ \begin{align} &-1\le \sqrt{1+3a^2} < 2&\implies&& 0\le\sqrt{1+3a^2} < 2 \\ &\big(\text{square both sides of each inequality}\big) &\implies&& 0\leq 1+3a^2 <4 \\ &\big(\text{subtract } 1\big) &\implies&& 0\leq 3a^2<3 \\ &\big(\text{divide by } 3\big) &\implies&& 0\leq a^2 < 1 \\ &&\implies&& \bbox[1ex, border:solid 1.5pt #e10000]{a\in\left(-1,1\right)} \end{align}
2. $\,-1\le - \sqrt{1+3a^2} < 2\,$ \begin{align} &-1\le- \sqrt{1+3a^2} < 2&\implies&& 0 < \sqrt{1+3a^2} \leq 1 \\ &\big(\text{square both sides of each inequality}\big) &\implies&& 0\lt 1+3a^2 \leq 1 \\ &\big(\text{subtract } 1 \text{ again}\big) &\implies&& -1\lt 3a^2 \leq 0 \\ &&\implies&& \bbox[1ex, border:solid 1.5pt #e10000]{a = 0} \end{align}

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Segundo , encontrar qué valores de $a$ corresponden a la integral solución de la ecuación. La respuesta será el complemento del conjunto de estos valores en $\mathbb R$ .

Answer 2

EDITAR (ELABORACIÓN)

Probablemente hay una errata aquí; debería decir soluciones reales.

Supongamos que tiene soluciones. $$0\leq t<1, t=\frac{1\pm \sqrt{1+3a^2}}{3} \Leftrightarrow 1 \le \sqrt{1+3a^2} < 2 $$ Por el hecho de que $1-\sqrt{1+3a^2}<0$ si $a \neq 0$ . A partir de aquí, elevamos al cuadrado ambos lados para obtener $$0 \le a^2 \le 1$$ Esto implica $-1 \le a \le 1$ .