Ideales máximos y ultrafiltros

Question

No estoy seguro de estas dos definiciones. Por ejemplo, si tomamos el conjunto de potencias de A={1,2,3} con el orden parcial de inclusión ¿Qué son los ideales máximos y qué son los filtros máximos? Por ejemplo, ¿puede un subconjunto de P(A) ser un ideal maximal sin contener el conjunto vacío como elemento?

Answer 1

Para sacar la respuesta real del camino: la definición habitual de ideal implica que cualquier ideal contiene el conjunto vacío -- un ideal $I$ (en un conjunto $X$ / el conjunto de potencia de $X$ ) es no vacía, cerrada bajo la toma de subconjuntos y bajo la toma de uniones finitas (y por supuesto $I\subseteq P(X)$ ). Los dos primeros deberían convencerte de que contiene el conjunto vacío.

La noción de filtro es dual: no vacía, cerrada bajo la toma de intersecciones y superconjuntos finitos. Los ideales se corresponden con los filtros mediante la asignación de cada elemento $A\in I$ a su complemento $X\setminus A$ . Los ideales máximos corresponden a los filtros máximos.

Por si acaso esta pregunta se debiera sólo a una confusión de ideales y filtros, permítanme añadir:

A ideal adecuado por definición no contiene el conjunto "completo $X$ (por ejemplo, en su ejemplo $X = \{ 1,2,3 \}$ ). Del mismo modo, un filtro adecuado no contiene el conjunto vacío por definición. La página web "impropio Los casos de estas definiciones coinciden: tanto el filtro impropio como el ideal impropio son sólo el conjunto de potencias completo (como queda claro al estar cerrado bajo subconjuntos y superconjuntos respectivamente).

Normalmente, filtro/medios ideales adecuado filtro/ideal pero por conveniencia notacional o técnica, a veces parece bueno permitir el caso impropio -- por ejemplo en la compactación Stone-Cech de los números naturales, $\beta \mathbb{N}$ , filtros adecuados (en $\mathbb{N}$ ) corresponden a subconjuntos cerrados no vacíos y el filtro impropio al conjunto vacío. Pero creo que la preferencia general (como señaló Joel David Hamkins en los comentarios) es no hacer esto, ya que ninguna comodidad supera a la confusión causada por el caso impropio .

En su ejemplo y (como menciona Robin Chapman) para cualquier conjunto finito $X$ los filtros máximos (propios) (o ultrafiltros) son los principal filtros, es decir, los de la forma $\dot{x} = \{ A \subseteq X:\ x \in A \} $ para algunos $x\in X$ . Para ver esto sólo hay que hacer una partición $X$ en monotonía -- una partición finita por suposición en $X$ -- cada filtro maximal contiene exactamente una parte de la partición. Los ideales maximales son de nuevo el dual.